Геометричні фігури у просторі є об’єктом вивчення стереометрії, курс якої проходять школярі в старших класах. Дана стаття присвячена такому досконалому многограннику, як призма. Розглянемо докладніше властивості призми і наведемо формули, які служать для їх кількісного опису.
Що це – призма?
Кожен уявляє, як виглядає паралелепіпед або куб. Обидві фігури є призмами. Однак, клас призм набагато більш різноманітний. В геометрії цій фігурі дається наступне визначення: призмою є всякий багатогранник у просторі, який утворений двома паралельними і однаковими багатокутними сторонами і кількома параллелограммами. Однакові паралельні грані фігури називаються її підставами (верхнім і нижнім). Паралелограми ж – це бічні грані фігури, що з’єднують сторони підстави один з одним.
Якщо основа представлено n-кутником, де n – ціле число, тоді фігура буде складатися з 2+n граней, 2*n вершин і 3*(n) ребер. Грані і ребра відносяться до одного з двох типів: або вони належать бічній поверхні, яких підстав. Що стосується вершин, то всі вони є рівноправними і відносяться до основ призми.
Види фігур досліджуваного класу
Вивчаючи властивості призми, слід перерахувати можливі види цієї фігури:
- Опуклі й увігнуті. Різниця між ними полягає у формі багатокутного підстави. Якщо воно є увігнутим, то такий також буде об’ємна фігура, і навпаки.
- Прямі і похилі. У прямої призми бічні грані представлені або прямими, або квадратами. У похилій фігури бічні грані є параллелограммами загального типу або ромбами.
- Неправильні і правильні. Щоб вивчається фігура була правильною, вона повинна бути прямою і мати правильне підставу. Прикладом останнього є такі плоскі фігури, як рівносторонній трикутник або квадрат.
Назва призми утворюється з урахуванням перерахованої класифікації. Наприклад, згаданий вище паралелепіпед з прямими кутами або куб, називаються правильної чотирикутної призмою. Правильні призми, через їх високої симетрії, зручно вивчати. Їх властивості виражаються у вигляді конкретних математичних формул.
Площа призми
Коли розглядають таку властивість призми, як її площу, то мають на увазі сумарну площу всіх її граней. Уявити цю величину простіше всього, якщо зробити розгортку фігури, тобто розкласти всі грані на одну площину. Нижче на малюнку показані для прикладу розгортки двох призм.
Для довільної призми формула площі її розгортки в загальному вигляді може бути записана так:
S = 2*So + b*Psr.
Пояснимо позначення. Величина So – площа однієї підстави, b – довжина бічного ребра, Psr – периметр зрізу, який перпендикулярний боковим параллелограммам фігури.
Записаною формулою часто користуються для визначення площ похилих призм. У разі правильної призми вираз для S набуде конкретний вид:
S = n/2*a2*ctg(pi/n) + n*b*a .
Перший доданок у виразі представляє площа двох підстав правильної призми, другий доданок – це площа бічних прямокутників. Тут a – довжина сторони правильного n-кутника. Зазначимо, що довжина бічного ребра b для правильної призми є також її висотою h, тому у формулі b можна замінити на h.
Як обчислити об’єм фігури?
Призма являє собою порівняльної простий полиэдр з високою симетрією. Тому для визначення її обсягу існує досить проста формула. Вона має наступний вигляд:
V = So*h.
Обчислити площу основи і висоту може бути складно, якщо розглядається похила неправильна фігура. Вирішується таке завдання з допомогою послідовного геометричного аналізу із залученням інформації про двогранних кутів між бічними параллелограммами і підставою.
Якщо призма є правильною, тоді формула для V придбаває цілком конкретний вигляд:
V = n/4*a2*ctg(pi/n)*h.
Як видно, площа S і об’єм V для правильної призми визначаються однозначно, якщо відомі два її лінійних параметра.
Трикутна Призма правильна
Завершимо статтю, розглянувши властивості правильної трикутної призми. Утворена вона п’ятьма гранями, три з яких є прямокутниками (квадратами), і дві – рівносторонніми трикутниками. Призма має шість вершин і дев’ять ребер. Для цієї призми формули об’єму та площі поверхні записані нижче:
S3 = √3/2*a2 + 3*h*a
V3 = √3/4*a2*h.
Крім цих властивостей, також корисно привести формулу для апофемы підстави фігури, яка являє собою висоту ha рівностороннього трикутника:
ha = √3/2*a.
Бокові сторони призми – це однакові прямокутники. Довжини їх діагоналей дорівнюють d:
d = √(a2 + h2).
Знання геометричних властивостей трикутної призми представляє не тільки теоретичний, але і практичний інтерес. Справа в тому, що цю постать, виготовлену з оптичного скла, застосовують для вивчення спектру випромінювання тел.
Проходячи через скляну призму, світло розкладається на ряд складових кольорів в результаті явища дисперсії, що створює умови для вивчення спектрального складу електромагнітного потоку.
