Побудова графіка
Оскільки тангенс може приймати будь-які значення, область визначення функції арктангенса – вся числова пряма. Пояснимо докладніше.
Один і той же тангенс відповідає нескінченного числа аргументів. Наприклад, дорівнює нулю не тільки тангенс нуля, але і тангенс будь-якого числа виду π к, де к – ціле число. Тому математики домовилися вибирати для арктангенса значення з проміжку від -½ π до ½ π. Це потрібно розуміти так. Область значень функції арктангенса – інтервал (-½ π; ½ π). Кінці проміжку не включаються, так як тангенс -½п і ½п не існує.
На зазначеному інтервалі тангенс безперервно зростає. Отже, зворотна функція арктангенса теж є безперервно зростаючою на всій числовій прямій, але обмеженої зверху і знизу. Внаслідок цього вона має дві горизонтальні асимптоти y = -½ π y = ½ π.
У цьому випадку tg 0 = 0, інших точок перетину з віссю абсцис, крім (0;0), графік не може мати в силу зростання.
Як випливає з парності функції тангенса, тангенс має аналогічну властивість.
Для побудови графіка слід взяти кілька точок з числа стандартних значень:
Похідна функції y = arctg х в будь-якій точці обчислюється за формулою:
Зауважимо, що його похідна всюди додатна. Це узгоджується зі зробленим раніше висновком про безперервному зростанні функції.
Друга похідна арктангенса звертається до 0 в точці 0, негативна при позитивних значеннях аргументу і навпаки.
Це означає, що графік функції арктангенса має точку перегину в нулі і є опуклим вниз на проміжку (-∞; 0] і опуклим вгору на проміжку [0; +∞).
