Просторова геометрична фігура призма є об’єктом вивчення стереометрії. Її характеристики розглядають у 10-11 класах шкіл. Дана стаття присвячена вивченню властивостей правильної призми на прикладі трикутної, чотирикутної і шестикутної фігур.
Призма в стереометрії
Дана фігура являє собою многогранник або полиэдр, що складається з кількох паралелограмів і двох однакових багатокутників довільного типу. Обидва багатокутника знаходяться в паралельних площинах. Вони називаються підставами фігури. Приклад п’ятикутної призми, зробленої з паперу, показаний нижче.
Цю фігуру можна отримати в просторі, якщо взяти п’ятикутник і перемістити його без обертання в нову площину, паралельну вихідної.
Призма складається з граней (n+2), вершин (2*n) і ребер (3*n). В залежності від типу граней говорять про прямих, похилих, увігнутих, правильних, чотирикутних та інших видах призм.
При вивченні цього класу фігур у стереометрії велика увага приділяється розгляду властивостей правильних призм.
Що собою являє правильна фігура?
Правильною називається будь-яка призма, яка є прямою і має рівносторонні і рівнокутні підстави. Пряма призма – це просторова фігура, у якої бічна поверхня замість паралелограмів загального типу утворена прямими або квадратами. У правильної призми геометричні центри обох підстав лежать на одній вертикальній прямій. Важливою властивістю даного виду фігур є те, що довжини бічних ребер відповідають висоті.
Якщо призма є прямий, але її основа являє собою довільний багатокутник, наприклад, ромб, то така фігура правильної не буде. Правильне підставу передбачає рівність у нього усіх кутів і сторін. Наприклад, рівносторонній трикутник має три кути по 60 o, а у правильного шестикутника ці кути рівні 120 o.
Далі в статті наведемо такі властивості призми, площа поверхні, об’єм, довжина діагоналей на прикладі трикутної, чотирикутної і шестикутної фігур.
Призма з трикутним підставою
Ця призма показано вище на малюнку. Вона утворена двома рівносторонніми трикутниками і трьома прямокутниками. Наведемо властивості і формули правильної трикутної призми.
Нехай сторона основи дорівнює a, а висота (довжина бічного ребра) становить h. Тоді площа поверхні фігури розраховується так:
S = √3/2*a2 + 3*a*h.
Перший доданок у правій частині рівності відповідає двох площах підстав, другий доданок – це площа трьох прямокутників, що складають бокові поверхні.
Для визначення об’єму фігури слід скористатися такою формулою:
V = √3/4*a2*h.
Це вираз виходить із загальної формули для об’єму призми (твір висоти на площу основи).
Трикутна призма володіє одним єдиним типом діагоналей – це діагоналі прямокутника. Значення їх довжини обчислюється так:
d = √(a2 + h2).
Чотирикутна призма
Перш ніж розглядати властивості правильної чотирикутної призми, скажімо, що вона складається з двох однакових квадратів, які з’єднані чотирма прямими. Багатьом школярам ця фігура відома під назвою прямокутного паралелепіпеда. Якщо його висота збігається зі стороною основи, то паралелепіпед вироджується в куб.
Площа поверхні досліджуваної симетричної фігури можна розрахувати за такою простою формулою:
S = 2*a2 + 4*a*h = 2*a*(a + 2*h).
Щоб обчислити обсяг, слід застосувати таке вираз:
V = a2*h.
При рішенні задач з геометрії, часто виникає проблема визначення довжини об’ємних діагоналей прямокутного паралелепіпеда з квадратною основою. Фігура володіє чотирма об’ємними діагоналями. Їх довжини є однаковими. Для визначення цих довжин слід застосувати формулу:
d = √(2*a2 + h2).
Якщо у формулах для S, V і d замінити параметр h на величину a, то ми отримаємо відповідні вирази для куба.
Шестикутна Призма
На відміну від попередніх призм, правильна шестикутна фігура є більш складною. Ця складність проявляється в обчисленні площі підстави, а також у визначенні довжин об’ємних діагоналей (біля фігури є два типи діагоналей).
Властивості призми правильної шестикутної почнемо розглядати з визначення площі її поверхні. Складається вона з двох правильних шестикутників і шести прямокутників. Відповідна формула має вигляд:
S = 3*√3*a2 + 6*a*h.
Площа одного шестикутника зі стороною a дорівнює площі шести рівносторонніх трикутників з тією ж довжиною сторони.
Для визначення об’єму фігури слід підставити значення сторони a і висоти h в наступне рівність:
V = 3*√3/2*a2*h.
Як було зазначено вище, існують два типи об’ємних діагоналей у шестикутної призми. Один тип діагоналей утворений в результаті з’єднання протилежних вершин підстав, інший тип – у результаті з’єднання вершин підстав через одну. Розраховуються довжини цих діагоналей так:
d1 = √(4*a2 + h2);
d2 = √(3*a2 + h2).
Формули показують, що діагональ першого типу завжди довше діагоналі другого типу (d1>d2).