Властивості призми. Формули площі, об’єму і довжини діагоналей для трикутної, чотирикутної і шестикутної фігур

Просторова геометрична фігура призма є об’єктом вивчення стереометрії. Її характеристики розглядають у 10-11 класах шкіл. Дана стаття присвячена вивченню властивостей правильної призми на прикладі трикутної, чотирикутної і шестикутної фігур.

Призма в стереометрії

Дана фігура являє собою многогранник або полиэдр, що складається з кількох паралелограмів і двох однакових багатокутників довільного типу. Обидва багатокутника знаходяться в паралельних площинах. Вони називаються підставами фігури. Приклад п’ятикутної призми, зробленої з паперу, показаний нижче.

Цю фігуру можна отримати в просторі, якщо взяти п’ятикутник і перемістити його без обертання в нову площину, паралельну вихідної.

Призма складається з граней (n+2), вершин (2*n) і ребер (3*n). В залежності від типу граней говорять про прямих, похилих, увігнутих, правильних, чотирикутних та інших видах призм.

При вивченні цього класу фігур у стереометрії велика увага приділяється розгляду властивостей правильних призм.

Що собою являє правильна фігура?

Правильною називається будь-яка призма, яка є прямою і має рівносторонні і рівнокутні підстави. Пряма призма – це просторова фігура, у якої бічна поверхня замість паралелограмів загального типу утворена прямими або квадратами. У правильної призми геометричні центри обох підстав лежать на одній вертикальній прямій. Важливою властивістю даного виду фігур є те, що довжини бічних ребер відповідають висоті.

Якщо призма є прямий, але її основа являє собою довільний багатокутник, наприклад, ромб, то така фігура правильної не буде. Правильне підставу передбачає рівність у нього усіх кутів і сторін. Наприклад, рівносторонній трикутник має три кути по 60 o, а у правильного шестикутника ці кути рівні 120 o.

Далі в статті наведемо такі властивості призми, площа поверхні, об’єм, довжина діагоналей на прикладі трикутної, чотирикутної і шестикутної фігур.

Дивіться також:  Скупердяй - це просто жадібний або сильно жадібна людина?

Призма з трикутним підставою

Ця призма показано вище на малюнку. Вона утворена двома рівносторонніми трикутниками і трьома прямокутниками. Наведемо властивості і формули правильної трикутної призми.

Нехай сторона основи дорівнює a, а висота (довжина бічного ребра) становить h. Тоді площа поверхні фігури розраховується так:

S = √3/2*a2 + 3*a*h.

Перший доданок у правій частині рівності відповідає двох площах підстав, другий доданок – це площа трьох прямокутників, що складають бокові поверхні.

Для визначення об’єму фігури слід скористатися такою формулою:

V = √3/4*a2*h.

Це вираз виходить із загальної формули для об’єму призми (твір висоти на площу основи).

Трикутна призма володіє одним єдиним типом діагоналей – це діагоналі прямокутника. Значення їх довжини обчислюється так:

d = √(a2 + h2).

Чотирикутна призма

Перш ніж розглядати властивості правильної чотирикутної призми, скажімо, що вона складається з двох однакових квадратів, які з’єднані чотирма прямими. Багатьом школярам ця фігура відома під назвою прямокутного паралелепіпеда. Якщо його висота збігається зі стороною основи, то паралелепіпед вироджується в куб.

Площа поверхні досліджуваної симетричної фігури можна розрахувати за такою простою формулою:

S = 2*a2 + 4*a*h = 2*a*(a + 2*h).

Щоб обчислити обсяг, слід застосувати таке вираз:

V = a2*h.

При рішенні задач з геометрії, часто виникає проблема визначення довжини об’ємних діагоналей прямокутного паралелепіпеда з квадратною основою. Фігура володіє чотирма об’ємними діагоналями. Їх довжини є однаковими. Для визначення цих довжин слід застосувати формулу:

d = √(2*a2 + h2).

Якщо у формулах для S, V і d замінити параметр h на величину a, то ми отримаємо відповідні вирази для куба.

Шестикутна Призма

На відміну від попередніх призм, правильна шестикутна фігура є більш складною. Ця складність проявляється в обчисленні площі підстави, а також у визначенні довжин об’ємних діагоналей (біля фігури є два типи діагоналей).

Дивіться також:  Що таке порошок: значення слова, різновиди

Властивості призми правильної шестикутної почнемо розглядати з визначення площі її поверхні. Складається вона з двох правильних шестикутників і шести прямокутників. Відповідна формула має вигляд:

S = 3*√3*a2 + 6*a*h.

Площа одного шестикутника зі стороною a дорівнює площі шести рівносторонніх трикутників з тією ж довжиною сторони.

Для визначення об’єму фігури слід підставити значення сторони a і висоти h в наступне рівність:

V = 3*√3/2*a2*h.

Як було зазначено вище, існують два типи об’ємних діагоналей у шестикутної призми. Один тип діагоналей утворений в результаті з’єднання протилежних вершин підстав, інший тип – у результаті з’єднання вершин підстав через одну. Розраховуються довжини цих діагоналей так:

d1 = √(4*a2 + h2);

d2 = √(3*a2 + h2).

Формули показують, що діагональ першого типу завжди довше діагоналі другого типу (d1>d2).