Одним з важливих питань при вивченні термодинамічних систем у фізиці є питання про можливість виконання цією системою деякої корисної роботи. З концепцією роботи тісно пов’язане поняття внутрішньої енергії. У цій статті розглянемо, що таке внутрішня енергія ідеального газу, і наведемо формули для її обчислення.
Ідеальний газ
Про газ, як агрегатному стані, не володіє ніякою силою пружності при зовнішньому впливі на нього і, як наслідок, не зберігає об’єм і форму, знає кожен школяр. Концепція ж ідеального газу для багатьох залишається незрозумілою і заплутаною. Пояснимо її.
Ідеальним називається будь газ, який задовольняє наступним двом важливим умовам:
- Складові його частки не мають розміру. Насправді вони мають розмір, але він настільки малий у порівнянні з відстанями між ними, що його можна не враховувати у всіх математичних розрахунках.
- Частинки не взаємодіють один з одним за допомогою сил Ван-дер-Ваальса або сил іншої природи. Насправді у всіх реальних газах така взаємодія присутній, але його енергія пренебрежимо мала в порівнянні з середньої кінетичної енергією частинок.
Описаним умовам задовольняють практично всі реальні гази, температури яких лежать вище 300 К, а тиску не перевищують однієї атмосфери. Для дуже високих тисків і низьких температур спостерігає відхилення газів від ідеального поведінки. У такому разі говорять про реальних газах. Вони описуються рівнянням Ван-дер-Ваальса.
Поняття про внутрішню енергію ідеального газу
Згідно з визначенням, під внутрішньою енергією системи розуміють суму кінетичної і потенційної енергій, укладених усередині цієї системи. Якщо застосувати цю концепцію до ідеального газу, то слід відкинути потенційну складову. Дійсно, оскільки частинки ідеального газу не взаємодіють один з одним, то їх можна вважати рухаються вільно в абсолютному вакуумі. Щоб витягти одну частинку з досліджуваної системи, не потрібно здійснювати роботу проти внутрішніх сил взаємодії, оскільки цих сил не існує.
Таким чином, внутрішня енергія ідеального газу завжди збігається з його кінетичної енергією. Остання, у свою чергу, однозначно визначається молярної масою частинок системи, їх кількістю, а також середньою швидкістю поступального та обертального руху. Швидкість руху залежить від температури. Збільшення температури приводить до збільшення внутрішньої енергії, і навпаки.
Формула для внутрішньої енергії
Позначимо внутрішню енергію ідеального газової системи буквою U. Згідно термодинаміки, вона визначається як різниця ентальпії H системи та добутку тиску на об’єм, тобто:
U = H – p*V.
У пункті вище ми з’ясували, що величина U відповідає сумарної кінетичної енергії Ek всіх частинок газу:
U = Ek.
Зі статистичної механіки в рамках положень молекулярно-кінетичної теорії (МКТ) ідеального газу випливає, що середня кінетична енергія однієї частинки Ek1 дорівнює такій величині:
Ek1 = z/2*kB*T.
Тут kB T – постійна Больцмана і температура, z – число ступенів свободи. Повну кінетичну енергію системи Ek можна отримати, якщо помножити Ek1 на кількість частинок N в системі:
Ek = N*Ek1 = z/2*N*kB*T.
Таким чином, ми отримали формулу для внутрішньої енергії ідеального газу, записану в загальному вигляді через абсолютну температуру і число частинок в закритій системі:
U = z/2*N*kB*T.
Одноатомний і багатоатомний газ
Записана в попередньому пункті статті формула для U є незручною для її практичного використання, оскільки кількість частинок N визначити важко. Тим не менше, якщо врахувати визначення кількості речовини n, то цей вираз можна переписати в більш зручній формі:
n = N/NA; R = NA*kB = 8,314 Дж/(моль*К);
U = z/2*n*R *T.
Число ступенів свободи z залежить від геометрії складових газ частинок. Так, для моноатомного газу z = 3, оскільки атом може незалежно рухатися тільки в трьох напрямках простору. Якщо ж газ є двохатомних, то z = 5, так як до трьох поступальним ступенями свободи додаються ще два обертальні. Нарешті, для будь-якого іншого багатоатомного газу z = 6 (3 поступальні і 3 обертальні ступені свободи). З урахуванням сказаного, можна записати в наступному вигляді формули внутрішньої енергії одноатомного ідеального газу, двоатомних і багатоатомного:
U1 = 3/2*n*R*T;
U2 = 5/2*n*R*T;
U≥3 = 3*n*R*T.
Приклад завдання на визначення внутрішньої енергії
У балоні об’ємом 100 літрів знаходиться чистий водень під тиском у 3 атмосфери. Вважаючи водень ідеальним газом при даних умовах, необхідно визначити, чому дорівнює його внутрішня енергія.
В записаних вище формулах для U присутня кількість речовини і температура газу. У умови завдання абсолютно нічого про ці величини не сказано. Щоб розв’язати задачу, необхідно згадати універсальне рівняння Клапейрона-Менделєєва. Воно має показаний на малюнку вигляд.
Оскільки водень H2 є двохатомної молекулою, то формула для внутрішньої енергії запишеться у вигляді:
UH2 = 5/2*n*R*T.
Порівнюючи обидва вирази, приходимо до кінцевої формули для рішення задачі:
UH2 = 5/2*P*V.
Залишається перевести одиниці тиску і обсягу умови в систему одиниць СІ, підставити відповідні значення у формулу для UH2 і отримати відповідь: UH2 ≈ 76 кДж.
