Вивчення властивостей многогранників займає важливу частину шкільного курсу стереометрії. У цій статті розглянемо два найбільш відомих типу цих фігур: піраміду і призму, і покажемо, як знайти об’єм багатогранника, і які формули слід використовувати.
Що таке багатогранник?
Перш ніж давати відповідь на питання про те, як знайти об’єм багатогранника, необхідно чітко уявляти, про що йде мова. Визначення багатогранника є досить простим: під ним вважають фігуру в тривимірному просторі, яка обмежена декількома багатокутними гранями. Межі повинні обов’язково бути плоскими. Багатогранники в зарубіжній літературі часто називають полиэдрами.
Оскільки досліджуваний клас об’ємних фігур складається з багатокутників, то у нього завжди є вершини і ребра, які утворені перетином трьох або двох граней відповідно.
У даній статті ми детально вивчимо два багатогранника, які зустрічаються найчастіше в задачах геометрії, у формі яких виготовляються багато побутові предмети. Мова піде про призмах і пірамідах.
Фігура призма і визначення її об’єму
Під призмою розуміють полиэдр, що складається з двох однакових паралельних n-кутників, відповідні вершини яких з’єднані між собою. Бічна поверхня такої геометричної конструкції утворена параллелограммами.
Існує багато різних видів призм, наприклад прямі і похилі, увігнуті і опуклі, трикутні і десятиугольные. Тим не менш відповідь на питання про те, як знайти об’єм багатогранника-призми, полягає в цілком конкретною формулою. Наведемо її:
V = So*h
Тут символ So відображає площу основи. Оскільки у будь призми їх два, і вони обидва рівні, то для обчислення So можна вибрати будь-який з них. Найпростіше розрахувати площу простих або правильних багатокутників. Наприклад, для довільного трикутника виду досить помножити половину боку на опущену на неї висоту, щоб отримати його площу. Якщо багатокутник є правильним (сторони і кути рівні між собою), тоді його площа Sn буде дорівнює:
Sn = n/4*ctg(pi/n)*a2
Де n – число кутів або сторін багатокутника, a – довжина його сторони.
Висотою призми вважається відстань між її підставами. Для прямої призми або правильно розрахувати цю величину не представляє ніякої праці, оскільки вона дорівнює бічному ребру. Якщо ж досліджуваний багатогранник буде неправильним і похилим, тоді розрахунок висоти ускладнюється. Для його проведення в загальному випадку необхідно знати кутові параметри фігури.
Правильна призма – це найлегший у плані розрахунку обсягу варіант фігури розглянутого класу. Обсяг правильного багатогранника обчислюється за формулою:
V = n/4*ctg(pi/n)*a2*h
Тут h може бути замінено на довжину b бічного ребра.
Фігура піраміда і обчислення її обсягу
Піраміда – це не тільки велике спорудження фараона Хеопса, але і цілком конкретний геометричний об’єкт. Цей багатогранник складається з одного n-вугільного підстави та n трикутників. З допомогою трикутників сторони підстави з’єднуються з єдиною точкою простору, яка є вершиною піраміди.
Як і призми, клас пірамід включає в себе фігури різного виду. Так, існують похилі та прямі піраміди, правильні і неправильні, опуклі і увігнуті. Проте все це розмаїття може бути описано єдиною формулою загального вигляду для їх обсягу.
Чому дорівнює об’єм багатогранника, якщо мова йде про довільної піраміді. Відповіддю на це питання буде наступне вираз:
V = 1/3*So*h
Ця формула є також простий, як і для призми. Бачимо, що об’єм піраміди в три рази менше такого для призми за інших рівних умов (однакові So і h).
Для обчислення площі підстави So слід дотримуватися описаної в попередньому пункті методики. Щодо висоти h зазначимо, що для її розрахунку на практиці часто доводиться вдаватися до використання тригонометричних функцій і теореми Піфагора.
Коли розглядають правильну піраміду, то її обсяг може бути розрахований за такою формулою:
V = n/12*ctg(pi/n)*a2*h
Завдання з шестикутною призмою
Задана правильна шестикутна призма. Об’єм багатогранника цього необхідно обчислити, якщо відомо, що довжина сторони його шестикутника дорівнює 6 см, а бічне ребро вдвічі більше.
Оскільки призма є правильною, то можна скористатися записаної вище формулою маємо:
V = 6/4*ctg(pi/6)*a2*2*a = 3*√3*a3
При записі цього виразу ми використовували рівності n=6 і h=2*a. Підставивши значення a=6 см, отримуємо відповідь: V = 1122,37 см3.
Завдання з чотирикутної піраміди
Розглянувши питання про те, як об’єм багатогранника знайти, розв’яжемо тепер задачу кілька більш складну. Необхідно визначити об’єм правильної чотирикутної піраміди, якщо діагональ її підстави дорівнює 13 см, а бічне ребро дорівнює 20 див.
Стратегія розв’язання задачі полягає в обчисленні довжини a і h, а потім в їх підстановці у відому формулу. Оскільки підстава фігури являє собою квадрат, сторона a діагоналі d визначається так:
a = d/√2 = 13/√2 = 9,19 см
Для визначення висоти необхідно розглянути прямокутний трикутник, сторони якого дорівнюють h, d/2 і b. Згідно з теоремою Піфагора, отримуємо:
h = √(b2 – d2/4) = √(202-132/4) = 18,91 см
Тепер можна скористатися формулою для V:
V = 4/12*ctg(pi/4)*a2*h = 1/3*9,192*18,91 = 532,35 см3
Таким чином, обсяг розглянутої піраміди дорівнює 532,35 см3.
