У шкільному курсі стереометрії вивчають властивості різних просторових фігур. Однією з них є піраміда. Дана стаття присвячена питанню про те, як знайти у площа бічної поверхні піраміди. Також розкривається питання визначення цієї площі для усіченої піраміди.
Що таке піраміда?
Багато хто, почувши слово “піраміда”, відразу уявляють грандіозні споруди Древнього Єгипту. Дійсно, гробниці Хеопса і Хефрена є правильними чотирикутними пірамідами. Тим не менш пірамідою також є тетраедр, фігури з п’яти-, шести-, n-вугільним підставою.
В геометрії поняття піраміди визначено чітко. Під цією фігурою розуміють об’єкт в просторі, який утворюється в результаті з’єднання деякої точки з кутами плоского n-кутника, де n – ціле число. Нижче малюнок показує чотири піраміди з різною кількістю кутів в підставі.
Точка, з якої з’єднані всі вершини кутів підстави, не лежить в його площині. Вона називається вершиною піраміди. Якщо з неї провести до основи перпендикуляр, то ми отримаємо висоту. Фігура, у якої висота перетинає основу в геометричному центрі, отримала назву прямої. Іноді пряма піраміда має правильне підставу, наприклад квадрат, рівносторонній трикутник і так далі. У цьому випадку вона називається правильною.
При обчисленні у піраміди площі бічної поверхні зручно працювати з правильними фігурами.
Площа поверхні бічної фігури
Як знайти у площа бічної поверхні піраміди? Можна зрозуміти це, якщо ввести відповідне визначення і розглянути розгорнення на площині для цієї фігури.
Будь-яка піраміда утворена гранями, які відокремлені один від одного ребрами. Підстава – це грань, утворена n-кутником. Всі інші грані являють собою трикутники. Їх n штук, і вони всі разом утворюють бічну поверхню фігури.
Якщо уздовж бічного ребра розрізати поверхню і розгорнути її на площині, то вийде розгортка піраміди. Для прикладу нижче показана розгортка шестикутної піраміди.
Видно, що бічна поверхня утворена шістьма однаковими трикутниками.
Тепер не важко здогадатися, як у піраміди знайти площу бічної поверхні. Для цього слід скласти площі всіх трикутників. У разі n-вугільної правильної піраміди, сторона основи якої дорівнює a, для розглянутої поверхні можна записати формулу:
Sb = n*a*hb/2
Тут hb – це апофема піраміди. Тобто висота трикутника, опущена з вершини фігури на сторону основи. Якщо апофема невідома, то її можна розрахувати, знаючи параметри n-кутника і значення висоти h фігури.
Усічена піраміда та її поверхня
Як можна здогадатися з назви, усічену піраміду можна отримати зі звичайної фігури. Для цього потрібно відсікти площиною, паралельною до основи, вершину. Нижче малюнок демонструє цей процес для шестикутної фігури.
Її бічна поверхня являє собою суму площ однакових рівнобедрених трапецій. Формула для площі бічної поверхні зрізаної піраміди (правильної) має вигляд:
Sb = hb*n*(a1 + a2)/2
Тут hb – апофема фігури, яка є висотою трапеції. Величини a1 і a2 – це довжини підстав сторін.
Розрахунок бічної поверхні для трикутної піраміди
Покажемо, як знайти площу бічної поверхні піраміди. Припустимо, у нас правильна трикутна, розберемося на прикладі конкретної задачі. Відомо, що сторона підстави, що представляє собою рівносторонній трикутник, дорівнює 10 см. Висота фігури дорівнює 15 див.
Розгортка цієї піраміди показана на малюнку. Щоб скористатися формулою для Sb, необхідно спочатку знайти апофему hb. Розглядаючи прямокутний трикутник всередині піраміди, побудований на сторонах hb і h, рівність можна записати наступне:
hb = √(h2+a2/12)
Підставляємо дані й одержуємо, що hb≈15,275 див.
Тепер можна скористатися формулою для Sb:
Sb = n*a*hb/2 = 3*10*15,275/2 = 229,125 см2
Зауважимо, що підстава трикутної піраміди, як і її бічна грань, утворено трикутником. Тим не менше цей трикутник при обчисленні площі Sb не враховується.
