На практиці часто виникають завдання, які вимагають уміння будувати перетину геометричних фігур різної форми і знаходити площі перерізів. У цій статті розглянемо, як будуються важливі перерізу призми, піраміди, конуса та циліндра, і як розраховувати їх площі.
Об’ємні фігури
З стереометрії відомо, що об’ємна фігура абсолютно будь-якого типу обмежена поруч поверхонь. Наприклад, для таких многогранників, як призма і піраміда, цими поверхнями є багатокутні боку. Для циліндра і конуса мова йде вже про поверхнях обертання циліндричної та конічної фігур.
Якщо взяти площину і перетнути нею довільним чином поверхню об’ємної фігури, то ми отримаємо розтин. Площа його дорівнює площі площині, яка буде знаходитися всередині об’єму фігури. Мінімальне значення цієї площі дорівнює нулю, що реалізується, коли площина стосується фігури. Наприклад, перетин, яке утворено єдиною точкою, виходить, якщо площина проходить через вершину піраміди або конуса. Максимальне значення площі перерізу залежить від взаємного розташування фігури і площини, а також від форми і розмірів фігури.
Нижче розглянемо, як розраховувати площі утворених перерізів для двох фігур обертання (циліндр і конус) і двох поліедрів (піраміда і призма).
Циліндр
Круговий циліндр є фігурою обертання прямокутника навколо будь-якої з його сторін. Циліндр характеризується двома лінійними параметрами: радіусом основи r і висотою h. Нижче схематично показано, як виглядає прямий круговий циліндр.
Для цієї фігури існує три важливих типу перерізу:
- кругле;
- прямокутна;
- еліптичний.
Еліптичний утворюється в результаті перетину площиною бічної поверхні фігури під деяким кутом до її основи. Кругле є результатом перетину січної площини бічній поверхні паралельно основи циліндра. Нарешті, прямокутна виходить, якщо січна площина буде паралельна осі циліндра.
Площа круглого перерізу розраховується за формулою:
S1 = pi*r2
Площа осьового перерізу, тобто прямокутного, яке проходить через вісь циліндра, визначається так:
S2 = 2*r*h
Перерізу конуса
Конусом є фігура обертання прямокутного трикутника навколо одного з катетів. Конус має одну вершину і кругле підставу. Його параметрами також є радіус r і висоти h. Приклад конуса, зробленого з паперу, показаний нижче.
Видів конічних перерізів існує кілька. Перерахуємо їх:
- кругле;
- еліптичний;
- параболічне;
- гиперболическое;
- трикутне.
Вони змінюють один одного, якщо збільшувати кут нахилу січної площини відносно круглого підстави. Найпростіше записати формули площі перерізу круглого і трикутного.
Круглий перетин утворюється в результаті перетину конічної поверхні площиною, яка паралельна основі. Для його площі справедлива наступна формула:
S1 = pi*r2*z2/h2
Тут z – це відстань від вершини фігури до утвореного перерізу. Видно, що якщо z = 0, то площина проходить тільки через вершину, тому площа S1 буде дорівнює нулю. Оскільки z < h, то площа перерізу досліджуваного буде завжди менше її значення для підстави.
Трикутне виходить, коли площина перетинає фігуру по її осі обертання. Формою отриманого перерізу буде рівнобедрений трикутник, сторонами якого є діаметр підстави і дві твірні конуса. Як знаходити площу перерізу трикутного? Відповіддю на це питання буде наступна формула:
S2 = r*h
Це рівність виходить, якщо застосувати формулу для площі довільного трикутника через довжину його заснування і висоту.
Перерізу призми
Призма – це великий клас фігур, які характеризуються наявністю двох однакових паралельних один одному багатокутних підстав, сполучених параллелограммами. Будь-який перетин призми – це багатокутник. В увазі різноманітності розглянутих фігур (похилі, прямі, n-вугільні, правильні, увігнуті призми) велике і різноманітність їх перерізів. Далі розглянемо лише деякі окремі випадки.
Якщо січна площина паралельна основі, то площа перерізу призми дорівнює площі цього підстави.
Якщо площина проходить через геометричні центри двох підстав, тобто є паралельною бічним ребрам фігури, тоді в перерізі утворюється паралелограм. У разі прямих і правильних призм розглянутий вид перерізу буде являти собою прямокутник.
Піраміда
Піраміда – це ще один многогранник, який складається з n-кутника і n трикутників. Приклад трикутної піраміди показаний нижче.
Якщо розтин проводиться паралельної n-вугільному основи площиною, то його форма буде в точності дорівнює формі підстави. Площа такого перерізу обчислюється за формулою:
S1 = So*(h-z)2/h2
Де z – відстань від заснування до площини перерізу, So – площа підстави.
Якщо січна площина містить вершину піраміди і перетинає її основу, то ми отримаємо трикутний перетин. Для обчислення його площі необхідно звернутися до використання відповідної формули для трикутника.
