Просторова геометрія, курс якої вивчають у 10-11 класах школи, розглядає властивості об’ємних фігур. У статті дається геометричне визначення циліндра, наводиться формула для обчислення його обсягу, а також вирішується фізична задача, де важливо знати цей обсяг.
Що таке циліндр?
З точки зору стереометрії, визначення циліндру можна дати наступне: він являє собою фігуру, утворену в результаті паралельного переміщення прямого відрізка вздовж деякої плоскої замкнутій кривій. Названий відрізок не повинен належати тій же площині, що й крива. Якщо кривою є коло, а відрізок, перпендикулярний їй, то утворений описаним способом циліндр називається прямим і круглим. Він показаний на малюнку нижче.
Не важко здогадатися, що цю постать можна отримати, якщо обертати прямокутник навколо будь-якої з його сторін.
Циліндр має два однакових підстави, які є колами, і бічну циліндричну поверхню. Окружність підстави називається директрисою, а перпендикулярний відрізок, що з’єднує колу різних підстав – це генератриса фігури.
Як знайти об’єм круглого прямого циліндра?
Познайомившись з визначенням циліндра, розглянемо, які параметри слід знати, щоб математично описати його характеристики.
Відстань між двома підставами – це висота фігури. Очевидно, що вона дорівнює довжині генератрисы. Будемо позначати висоту латинською літерою h. Радіус кола на підставі позначимо літерою r. Він також називається радіусом циліндра. Введених двох параметрів достатньо, щоб однозначно описати всі властивості даної фігури.
Враховуючи геометричне визначення циліндра, об’єм його можна обчислити за наступною формулою:
V = S*h
Тут S – площа підстави. Зауважимо, що для будь-якого циліндра і для всякої призми справедлива записана формула. Тим не менше для круглого прямого циліндра нею користуватися досить зручно, оскільки висота є генератрисой, а площа S основи можна визначити, згадавши формулу площі круга:
S = pi*r2
Таким чином, робоча формула для об’єму V розглянутої фігури запишеться у вигляді:
V = pi*r2*h
Виштовхувальна сила
Кожен школяр знає, що якщо який-небудь предмет занурити у воду, то його вага стане менше. Причиною цього факту є виникнення виштовхувальної, або до архімедового сили. Вона діє на будь-які тіла, незалежно від їх форми і матеріалу, з якого вони виготовлені. Силу Архімеда можна визначити за формулою:
FA = ρl*g*Vl
Тут ρl і Vl – щільність рідини і витіснений тілом її обсяг. Важливо не плутати цей обсяг з об’ємом тіла. Вони будуть збігатися тільки в тому випадку, якщо тіло повністю занурене у рідину. При будь-якому частковому його зануренні Vl завжди менше V тіла.
Виштовхувальної сила FA називається тому, що вона спрямована вертикально вгору, тобто є протилежною за напрямом силі тяжіння. Різні напрямки векторів сил призводять до того, що вага тіла в будь-якої рідини менше, ніж на повітрі. Справедливості заради відзначимо, що в повітрі на всі тіла діє виштовхувальна сила, однак вона пренебрежимо мала в порівнянні з до архімедового силою у воді (менше 800 разів).
Різницю у вазі тіл в рідині і в повітрі використовують для визначення щільності твердих і рідких речовин. Цей метод отримав назву гідростатичного зважування. Згідно з легендою, вперше його застосував Архімед для визначення щільності металу, з якого була зроблена корона.
Скористаємося наведеною формулою для визначення виштовхувальної сили, що діє на циліндр з латуні.
Завдання на обчислення сили Архімеда, що діє на циліндр латунний
Відомо, що латунний циліндр має висоту 20 см і діаметр 10 див. Чому буде дорівнює архімедового сила, яка на нього почне діяти, якщо циліндр кинути в дистильовану воду.
Для визначення виштовхувальної сили на латунний циліндр в першу чергу слід в таблиці подивитися щільність латуні. Вона дорівнює 8600 кг/м3 (це середнє значення її щільності). Оскільки ця величина більше щільності води (1000 кг/м3), то об’єкт потоне.
Для визначення сили Архімеда достатньо знайти об’єм циліндра, а потім скористатись наведеною формулою для FA. Маємо:
V = pi*r2*h = 3,14*52*20 = 1570 см3
У формулу ми підставили значення радіуса 5 см, так як він в два рази менше даного в умові задачі діаметра.
Для виштовхувальної сили отримуємо:
FA = ρl*g*V = 1000*9,81*1570*10-6 = 15,4 Н
Тут ми перевели об’єм V, м3.
Таким чином, на циліндр з латуні відомих розмірів, занурений у воду, буде діяти спрямована вгору сила 15,4 Н.
