Поліном, або многочлен – одна з базових алгебраїчних структур, яка зустрічається у шкільної та вищої математики. Вивчення полінома – найважливіша тема в курсі алгебри, оскільки з одного боку многочлени досить прості в порівнянні з іншими типами функцій, з іншого – широко застосовуються у вирішенні задач математичного аналізу. Отже, що таке поліном?
Визначення
Визначення терміну поліном можна дати через поняття монома, або одночлена.
Мономом називають вираз виду сх1і1х2і2…xnin. Тут з – константа, x1, x2, … xn – змінні, i1, i2, …, in – показники ступенів змінних. Тоді поліном – будь-яка кінцева сума мономов.
Щоб зрозуміти, що таке поліном, можна подивитися на конкретні приклади.
Квадратний тричлен, докладно розглянутий в курсі математики 8-го класу, – це поліном: ax2+bx+c.
Многочлен з двома змінними може виглядати так: х2-ху+у2. Такий поліном називають ще неповним квадратом різниці х і у.
Класифікації поліномів
По ступеня полінома
Для кожного монома у складі многочлена знаходять суму показників ступеня i1+i2+…+in. Найбільшу із сум називають показником ступеня полінома, а одночленів, що відповідає цій сумі, – старшим членом.
До речі, будь-яку константу можна вважати многочленом ступеню нуль.
Наведені та неприведенные поліноми
Якщо у старшого члена коефіцієнт с дорівнює 1, то многочлен наведено, інакше – ні.
Наприклад, вираз х2+2х+1 – наведений поліном, а 2х2+2х+1 – неприведенный.
Однорідні та неоднорідні поліноми
Якщо мірою всіх членів полінома рівні, то кажуть, що такий однорідний поліном. Всі інші поліноми вважаються неоднорідними.
Однорідні многочлени: х2-ху+у2, xyz+х3+у3. Неоднорідні: х+1, х2+у.
Існують спеціальні назви для полінома з двох і трьох членів: біном і тричлен відповідно.
В окрему категорію виділяють многочлени однієї змінної.
Застосування полінома однієї змінної
Многочлен з однією змінною добре наближають неперервні функції різної складності від одного аргументу.
Справа в тому, що такі поліноми можна розглядати як часткові суми степеневого ряду, а безперервну функцію можна представити у вигляді ряду з як завгодно малою похибкою. Ряди розкладання функції називають рядами Тейлора, а їх часткові суми у вигляді поліномів – многочленами Тейлора.
Вивчити графічно поведінку функції, аппроксимировав її деяким многочленом, часто легше, ніж дослідити ту ж функцію безпосередньо або з допомогою ряду.
Легко шукати похідні многочленів. Для знаходження коренів у поліномів 4-го ступеня і нижче існують готові формули, а для роботи з більш високими ступенями використовуються наближені алгоритми високої точності.
Існує і узагальнення описаних многочленів для функцій багатьох змінних.
Біном Ньютона
Знаменитими є поліномами поліномів Ньютона, виведені вченим для знаходження коефіцієнтів вираження (х+у)n.
Досить подивитися на кілька перших ступенів розкладання бінома, щоб переконатися в нетривіальності формули:
(х+у)2=х2+2ху+у2;
(х+у)3=х3+3х2у+3ху2+у3;
(х+у)4=х4+4х3у+6х2у2+4ху3+у4;
(х+у)5=х5+5х4у+10х3у2+10х2у3+5ху4+у5.
Для кожного коефіцієнта існує вираз, що дозволяє його вирахувати. Однак запам’ятовувати громіздкі формули і кожен раз проводити необхідні арифметичні операції було б вкрай незручно для тих математиків, яким часто потрібні подібні розкладання. Їм значно полегшив життя трикутник Паскаля.
Фігура будується за наступним принципом. У вершині трикутника пишеться 1, а в кожному наступному рядку стає на одну цифру більше, по краях ставлять 1, а середина рядка заповнюється сумами двох сусідніх чисел з попередньої.
При погляді на ілюстрацію все стає зрозуміло.
Зрозуміло, наведеними прикладами, найбільш широко відомими, застосування многочленів у математиці не обмежується.
