Рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва-Клапейрона). Висновок рівняння ідеального газу

Газ є одним з чотирьох агрегатних станів навколишнього нас матерії. Це стан речовини людство почало вивчати із застосуванням наукового підходу, починаючи з XVII століття. У наведеній нижче статті вивчимо, що таке ідеальний газ, і рівняння, яке описує його поведінку при різних зовнішніх умовах.

Поняття про ідеальному газі

Кожна людина знає, що повітря, яким ми дихаємо, або природний метан, який ми використовуємо для обігріву будинків і приготування їжі, це яскраві представники газового стану матерії. У фізиці для вивчення властивостей цього стану було введено поняття ідеального газу. Це поняття передбачає використання низки припущень і спрощень, які не є суттєвими при описі базових фізичних характеристик речовини: температури, об’єму і тиску.

Отже, ідеальним газом називається рідка субстанція, яка задовольняє наступні умови:

  • Частинки (молекули та атоми) рухаються хаотично в різних напрямках. Завдяки цій властивості в 1648 році Ян Баптіста ван Гельмонт ввів поняття “газ” (“хаос” з давньогрецької).
  • Частинки не взаємодіють один з одним, тобто міжмолекулярними і межатомными взаємодією можна знехтувати.
  • Зіткнення між частинками і зі стінками посудини абсолютно пружні. В результаті таких зіткнень зберігається кінетична енергія і кількість руху (імпульс).
  • Кожна частинка являє собою матеріальну точку, тобто вона має деяку кінцеву масу, але її обсяг дорівнює нулю.
  • Сукупність викладених умов відповідає поняттю ідеального газу. Всі відомі реальні речовини з високою точністю відповідають введеній концепції при високих температурах (кімнатної і вище) і низьких тисках (до атмосферного і нижче).

    Закон Бойля-Маріотта

    Перш ніж записати рівняння стану ідеального газу, наведемо ряд приватних законів і принципів, експериментальне відкриття яких призвело до виведення цього рівняння.

    Почнемо з закону Бойля-Маріотта. У 1662 році британський фізико-хімік Роберт Бойль і в 1676 французький фізико-ботанік Эдм Маріотт незалежно встановили наступний закон: якщо температура в газовій системі залишається постійною, то створюється газом тиск в ході будь-якого термодинамічного процесу виявляється обернено пропорційним його об’єму. Математично це формулювання може бути записана наступним чином:

    Дивіться також:  Що це важіль у фізиці? Принцип роботи важеля. Види важелів

    P * V = k1 при T = const, де

    • P, V – тиск і об’єм ідеального газу;
    • k1 – деяка константа.

    Проводячи експерименти з хімічно різними газами, вчені встановили, що величина k1 не залежить від хімічної природи, але залежить від маси газу.

    Перехід між станами зі зміною тиску та об’єму при збереженні температури системи називається ізотермічним процесом. Таким чином, ізотерми ідеального газу на графіку являють собою гіперболи залежності тиску від об’єму.

    Закон Шарля і Гей-Люссака

    У 1787 році французький вчений Шарль і в 1803 році інший француз Гей-Люссак емпіричним шляхом встановили ще один закон, який описував поведінка ідеального газу. Його можна сформулювати так: в закритій системі при постійному тиску газу збільшення температури приводить до пропорційного збільшення обсягу і, навпаки, зменшення температури веде до пропорційного стиску газу. Математична формулювання закону Шарля і Гей-Люссака записується так:

    V / T = k2 при P = const.

    Перехід між станами газу зі зміною температури та об’єму і при збереженні тиску в системі називається изобарным процесом. Константа k2 визначається значенням тиску в системі і масою газу, але не його хімічною природою.

    На графіку функція V (T) являє собою пряму лінію з тангенсом кута нахилу k2.

    Зрозуміти цей закон можна, якщо залучити положення молекулярно-кінетичної теорії (МКТ). Так, збільшення температури призводить до збільшення кінетичної енергії газових частинок. Останнє сприяє підвищенню інтенсивності їх зіткнень зі стінками посудини, що збільшує тиск в системі. Щоб це тиск зберегти постійним, необхідно об’ємне розширення системи.

    Закон Гей-Люссака

    Вже згаданий французький вчений на початку XIX століття встановив ще один закон, пов’язаний з термодинамічними процесами ідеального газу. Цей закон говорить: якщо в газовій системі зберігається постійний обсяг, то збільшення температури позначається на пропорційному підвищенні тиску, і навпаки. Формула закону Гей-Люссака виглядає так:

    P / T = k3 при V = const.

    Знову ми маємо константу k3, залежну від маси газу та його об’єму. Термодинамічний процес при постійному обсязі називається изохорным. Изохоры на графіку P (T) виглядають так само, як ізобари, тобто являють собою прямі лінії.

    Дивіться також:  Що це - хітон? Про давній одяг, панцирних молюсків та інших тлумачень слова

    Принцип Авогадро

    При розгляді рівняння стану ідеального газу часто дають характеристику тільки трьом законам, які представлені вище і які є приватними випадками цього рівняння. Тим не менше існує ще один закон, який прийнято називати принципом Амедео Авогадро. Він також являє собою окремий випадок рівняння ідеального газу.

    У 1811 році італієць Амедео Авогадро в результаті численних експериментів з різними газами прийшов до наступного висновку: якщо тиск і температура в газовій системі зберігається, то її об’єм V знаходиться в прямій пропорційності від кількості речовини n. При цьому неважливо, який хімічної природи є речовина. Авогадро встановив наступне співвідношення:

    n / V = k4,

    де константа k4 визначається тиском і температурою в системі.

    Принцип Авогадро іноді формулюють так: об’єм, який займає 1 моль ідеального газу при даній температурі і тиску, є завжди одним і тим же, незалежно від його природи. Нагадаємо, що 1 моль речовини – це число NA, відображає кількість елементарних одиниць (атомів, молекул), складових речовина (NA = 6,02 * 1023).

    Закон Менделєєва-Клапейрона

    Тепер прийшов час повернутися до головної теми статті. Ідеальний газ в стані рівноваги може бути описаний наступним рівністю:

    P * V = n * R * T.

    Цей вираз називається законом Менделєєва-Клапейрона – за прізвищами вчених, які внесли величезний внесок у його формулювання. Закон говорить, що добуток тиску на об’єм газу є прямо пропорційною добутку кількості речовини цього газу на його температуру.

    Клапейрона вперше отримав цей закон, узагальнюючи результати досліджень Бойля-Маріотта, Шарля, Гей-Люссака і Авогадро. Заслуга ж Менделєєва в тому, що він надав основного рівняння ідеального газу сучасну форму, ввівши константу R. Клапейрона у своїй математичної формулюванні використовував набір констант, що робило незручним використання цього закону для вирішення практичних завдань.

    Введена Менделєєвим величина R називається універсальною газовою сталою. Вона показує, яку роботу здійснює 1 моль газу будь-хімічної природи у результаті изобарного розширення при збільшенні температури на 1 кельвін. Через постійну Авогадро NA і константу Больцмана kB ця величина розраховується так:

    Дивіться також:  Рівняння площини. Кут між двома площинами

    R = NA * kB = 8,314 Дж/(моль*К).

    Висновок рівняння

    Сучасний стан термодинаміки і статистичної фізики дозволяє отримати кількома різними способами рівняння ідеального газу, записане в попередньому пункті.

    Перший спосіб полягає в узагальненні всього двох емпіричних законів: Бойля-Маріотта і Шарля. З цього узагальнення слід вигляд:

    P * V / T = const.

    Саме так вчинив Клапейрона в 30-е роки XIX століття.

    Другий спосіб полягає в залученні положень МКТ. Якщо розглянути імпульс, який передає при зіткненні зі стінкою судини кожна частинка, врахувати зв’язок цього імпульсу з температурою, а також врахувати число частинок N в системі, то можна записати рівняння кінетичної теорії ідеального газу в такому вигляді:

    P * V = N * kB * T.

    Помноживши і поділивши праву частину рівності на число NA, ми отримаємо рівняння у тому вигляді, в якому воно записано в пункті вище.

    Існує третій більш складний спосіб отримання рівняння стану ідеального газу – статистичної механіки з використанням поняття вільної енергії Гельмгольца.

    Запис рівняння через масу і щільність газу

    Вище на малюнку записано рівняння ідеального газу. У ньому фігурує кількість речовини n. Однак на практиці часто відома змінна або постійна маса ідеального газу m. В цьому випадку рівняння запишеться у такій формі:

    P * V = m / M * R * T.

    M – молярна маса для даного газу. Наприклад, для кисню O2 вона дорівнює 32 г/моль.

    Нарешті, перетворюючи останній вираз можна переписати так:

    P = ρ / M * R * T

    Де ρ – щільність субстанції.

    Суміш газів

    Суміш ідеальних газів описується так званим законом Дальтона. Цей закон випливає з рівняння ідеального газу, яке застосовне для кожного компоненту суміші. Дійсно, кожний компонент займає весь об’єм і має однакову з іншими компонентами суміші температуру, що дозволяє записати:

    P = ∑iPi = R * T / V * ∑ini.

    Тобто повне тиск в суміші P дорівнює сумі парціальних тисків Pi всіх компонент.