Кожна людина чув про великих єгипетських кам’яних спорудах, головним з яких є піраміда Хеопса. У курсі стереометрії розглядають характеристики різних пірамід. Одним з важливих параметрів фігури є площа бічної поверхні. За якою формулою площа бічної поверхні піраміди слід розраховувати, розповість ця стаття.
Що собою являє піраміда в геометрії?
Перш ніж говорити про піраміду і формули площі бічної поверхні, дамо визначення самої фігури. Під нею вважають об’ємний многогранник, який складається з одного n-вугільного підстави та n трикутників. Всі трикутники мають одну спільну з підставою сторону, а також перетинаються в точці, яка називається вершиною. Нижче показана довільна чотирикутна піраміда:
Отримати піраміду досить просто. Для цього необхідно вибрати плоский багатокутник і з’єднати всі його вершини з єдиною точкою простору. Обов’язкова умова – ця точка не повинна лежати на площині.
Будь-яка піраміда складається з:
- граней, яких у неї n+1 штука;
- вершин (n+1 штука);
- ребер (2*n штук).
Причому всі названі елементи бувають двох типів: ті, які відносяться до основи, і ті, які належать бічній поверхні.
Параметри бічній поверхні для фігури довільного типу
Як знаходити площу (формула представлена нижче) поверхні бічної грані розглянутої фігури? Відповісти на це питання нескладно, якщо знати, що бічна поверхня утворена n трикутниками. Це означає, що достатньо для кожного з них обчислити площу, а потім скласти отримані значення і результатом буде шуканий показник. Тим не менш, зробити це не завжди просто для піраміди довільного типу. Наведемо приклад. Нижче малюнок демонструє три піраміди, які називаються чотирикутними похилими.
З першого погляду видно, що всі бічні трикутники є різними. Це означає, що для визначення їх площ необхідно знати всі сторони основи і висоту кожного трикутника. Вона називається “апофемой”. Якщо апофему i-го трикутника позначити символом hi, а довжину відповідної сторони підстави назвати ai, тоді отримаємо для загального типу піраміди формулу бічній поверхні площі:
S = 1/2*∑i=1n(hi*ai).
Таким чином, для обчислення величини S фігури довільного типу необхідно знати 2*n її параметрів.
Правильні піраміди і їх бічна поверхня
Наведена в попередньому пункті формула площі поверхні піраміди загального типу приймає конкретний вид для правильних фігур. Правильною називається та піраміда, яка містить в підставі равностороннюю і равноугольную фігуру, а її висота потрапляє точно в центр основи. На малюнку нижче показаний набір правильних пірамід, виготовлених з паперу:
Той факт, що всі трикутники бічній поверхні є равнобедренными і рівні між собою для правильної піраміди, значно полегшує розрахунок площі поверхні її боковини. Довжину сторони основи позначимо буквою a, а апофему – h1, тоді для піраміди формула площі бічної поверхні прийме вигляд:
S = 1/2*n*a*h1.
Важливо не плутати величину h1 у формулі з висотою h піраміди. Апофема h1 і висота h пов’язані єдиним рівністю через довжину підстави для будь-якої правильної піраміди.
Завдання на обчислення бічної поверхні трикутної піраміди
Відомо, що правильна трикутна піраміда має висоту 43 см і довжину підстави 12 див. Чому дорівнює площа її бічній поверхні?
Розглянувши прямокутний трикутник всередині цієї піраміди, який утворений сторонами h1, h і 1/3 висоти підстави, отримуємо:
h1 = √(h2 + a2/12) = √(432+122/12) = 43,14 див.
Тепер залишилося застосувати записану вище формулу для S, враховуючи при цьому, що n=3. Отримуємо:
S = 1/2*n*a*h1 = 1/2*3*12*43,14 = 776,52 см2.
Записана формула визначення апофемы через висоту справедлива тільки для правильної трикутної піраміди.
