Момент інерції матеріальної точки та твердого тіла: формули, теореми Штейнера, приклад розв’язання задачі

Кількісне вивчення динаміки і кінематики обертального руху передбачає знання моменту інерції матеріальної точки та твердого тіла відносно осі обертання. Розглянемо у статті, про якому параметрі йде мова, а також наведемо формулу для його визначення.

Загальні відомості про фізичною величиною

Спочатку дамо визначення моменту інерції матеріальної точки та твердого тіла, а потім покажемо, як його слід використовувати при вирішенні практичних завдань.

Під зазначеною фізичною характеристикою для точки, що має масу m, яка обертається навколо осі на відстані r, мається на увазі наступна величина:

I = m * r2.

Звідки випливає, що одиницею вимірювання досліджуваного параметра є кілограми на квадратний метр (кг*м2).

Якщо замість точки навколо осі обертається тіло складної форми, яке має довільний розподіл маси всередині себе, то його момент інерції визначається так:

I = ∫m(r2 * dm) = ρ * ∫V(r2 * dV).

Де ρ – густина тіла. За допомогою інтегральної формули можна визначити величину I для абсолютно будь-якої системи обертання.

Момент інерції має точно такий же сенс для обертання, як маса для поступального руху. Наприклад, кожен знає, що швабру для миття підлоги найлегше обертати навколо осі, що проходить через її ручку, ніж через перпендикулярну їй. Пов’язано це з тим, що момент інерції у першому випадку набагато менше, ніж в другому.

Величина I для тіл різної форми

При вирішенні задач з фізики на обертання часто необхідно знати момент інерції тіла конкретної геометричної форми, наприклад, для циліндра, кулі або стрижня. Якщо застосувати записану вище формулу для I, то нескладно отримати відповідний вираз для всіх зазначених тел. Нижче наведено формули для деяких з них:

стрижень: I = 1 / 12 * M * L2;

циліндр: I = 1 / 2 * M * R2;

сфера: I = 2 / 5 * M * R2.

Тут наведено I для осі обертання, що проходить через центр маси тіла. У разі циліндра вісь паралельна генератрисе фігури. Момент інерції для інших геометричних тіл і варіантів розташування осей обертання можна знайти у відповідних таблицях. Зауважимо, що для визначення I різних фігур достатньо знати всього один геометричний параметр і масу тіла.

Дивіться також:  Близькі за значенням слова — це можливість замінити одне поняття іншим

Теорема Штейнера і формула

Момент інерції можна визначити, якщо вісь обертання розташована на деякій відстані від тіла. Для цього слід знати довжину цього відрізка і величину IO тіла відносно проходить через центр його маси осі, яка повинна бути паралельна розглянутої. Встановлює зв’язок між параметром IO і невідомим значенням I закріплюється в теоремою Штейнера. Момент інерції матеріальної точки та твердого тіла математично записується наступним чином:

I = IO + M * h2.

Тут M – маса тіла, h – відстань від центру маси до осі обертання, щодо якої необхідно обчислити I. Це вираз нескладно отримати самостійно, якщо скористатися інтегральною формулою для I і врахувати, що всі точки тіла знаходяться на відстані r = r0 + h.

Теорема Штейнера значно полегшує визначення I для багатьох практичних ситуацій. Наприклад, якщо необхідно знайти I для стрижня довжиною L і масою M відносно осі, яка проходить через його кінець, то застосування теореми Штейнера дозволяє записати:

I = IO + M * (L / 2)2 = 1 / 12 * M * L2 + M * L2 / 4 = M * L2 / 3.

Можна звернутися до відповідної таблиці і побачити, що в ній наводиться саме ця формула для тонкого стрижня з віссю обертання на його кінці.

Рівняння моментів

У фізиці обертання існує формула, яка називається рівнянням моментів. Виглядає вона наступним чином:

M = I * α.

Тут M – момент сили, α – кутове прискорення. Як видно, момент інерції матеріальної точки та твердого тіла і момент сили лінійно пов’язані один з одним. Величина M визначає можливість деякої сили F створити обертальний рух з прискоренням α в системі. Для обчислення M користуються наступним простим виразом:

M = F * d.

Де d – плече моменту, яка дорівнює відстані від вектора сили F до осі обертання. Чим менше плече d, тим меншою здатністю створити обертання системи буде володіти сила.

Дивіться також:  Найцікавіші факти про солі

Рівняння моментів за своїм змістом повністю відповідає другому закону Ньютона. При цьому I грає роль інерційної маси.

Приклад розв’язання задачі

Уявімо собі систему, яка являє собою циліндр, закріплений на вертикальній осі з допомогою невагомого горизонтального стержня. Відомо, що вісь обертання і головна вісь циліндра паралельні один одному, і відстань між ними дорівнює 30 див. Маса циліндра становить 1 кг, а його радіус дорівнює 5 див. На фігуру діє дотична до траєкторії обертання сила в 10 М, вектор якої проходить через головну вісь циліндра. Необхідно визначити кутове прискорення фігуру, яка буде викликати ця сила.

Для початку обчислимо момент інерції I циліндра. Для цього слід застосувати теорему Штейнера, маємо:

I = IO + M *d2 = 1 / 2 * M * R2 + M * d2 = 1 / 2 * 1 * 0,052 + 1 * 0,32 = 0,09125 кг*м2.

Перш ніж користуватися рівнянням моментів, необхідно визначити момент сили M. В даному випадку маємо:

M = F * d = 10 * 0,3 = 3 Н*м

Тепер можна визначити прискорення:

α = M/I = 3/0,09125 ≈ 32,9 рад/с2.

Розраховане кутове прискорення говорить про те, що кожну секунду швидкість циліндра буде збільшуватися на 5,2 обороту в секунду.