Величина I для тіл різної форми
При вирішенні задач з фізики на обертання часто необхідно знати момент інерції тіла конкретної геометричної форми, наприклад, для циліндра, кулі або стрижня. Якщо застосувати записану вище формулу для I, то нескладно отримати відповідний вираз для всіх зазначених тел. Нижче наведено формули для деяких з них:
стрижень: I = 1 / 12 * M * L2;
циліндр: I = 1 / 2 * M * R2;
сфера: I = 2 / 5 * M * R2.
Тут наведено I для осі обертання, що проходить через центр маси тіла. У разі циліндра вісь паралельна генератрисе фігури. Момент інерції для інших геометричних тіл і варіантів розташування осей обертання можна знайти у відповідних таблицях. Зауважимо, що для визначення I різних фігур достатньо знати всього один геометричний параметр і масу тіла.
Теорема Штейнера і формула
Момент інерції можна визначити, якщо вісь обертання розташована на деякій відстані від тіла. Для цього слід знати довжину цього відрізка і величину IO тіла відносно проходить через центр його маси осі, яка повинна бути паралельна розглянутої. Встановлює зв’язок між параметром IO і невідомим значенням I закріплюється в теоремою Штейнера. Момент інерції матеріальної точки та твердого тіла математично записується наступним чином:
I = IO + M * h2.
Тут M – маса тіла, h – відстань від центру маси до осі обертання, щодо якої необхідно обчислити I. Це вираз нескладно отримати самостійно, якщо скористатися інтегральною формулою для I і врахувати, що всі точки тіла знаходяться на відстані r = r0 + h.
Теорема Штейнера значно полегшує визначення I для багатьох практичних ситуацій. Наприклад, якщо необхідно знайти I для стрижня довжиною L і масою M відносно осі, яка проходить через його кінець, то застосування теореми Штейнера дозволяє записати:
I = IO + M * (L / 2)2 = 1 / 12 * M * L2 + M * L2 / 4 = M * L2 / 3.
Можна звернутися до відповідної таблиці і побачити, що в ній наводиться саме ця формула для тонкого стрижня з віссю обертання на його кінці.
