Стереометрія є важливою частиною загального курсу геометрії, яка розглядає характеристики просторових фігур. Однією з таких постатей є чотирикутна призма. У цій статті детальніше розкриємо питання, як розраховувати обсяг чотирикутної призми.
Що собою являє чотирикутна призма?
Очевидно, що перш ніж наводити формулу обсягу чотирикутної призми, необхідно дати чітке визначення цієї геометричної фігури. Під такою призмою розуміють тривимірний многогранник, який обмежений двома довільними однаковими чотирикутниками, що лежать у паралельних площинах, і чотирма параллелограммами.
Зазначені паралельні один одному чотирикутники називаються підставами фігури, а чотири паралелограма – це бічні сторони. Тут слід пояснити, що паралелограми також є чотирикутниками, однак підстави не завжди є параллелограммами. Приклад неправильного чотирикутника, який цілком може бути підставою призми, показаний нижче на малюнку.
Будь-чотирикутна призма складається з 6 сторін, 8 вершин і 12 ребер. Існують чотирикутні призми різних видів. Наприклад, фігура може бути похилій або прямий, неправильної і правильною. Далі в статті покажемо, як можна розраховувати обсяг чотирикутної призми з урахуванням її виду.
Похила призма з неправильним підставою
Це самий несиметричний вигляд чотирикутної призми, тому розрахунок її обсягу буде відносно складним. Визначити обсяг фігури дозволяє наступне вираз:
V = So*h
Символом So тут позначена площа підстави. Якщо це підстава являє собою ромб, паралелограм або прямокутник, то розрахувати величину So нескладно. Так, для ромба і паралелограма справедлива формула:
So = a*ha
де a – сторона підстави, ha – довжина опущеною на цю сторону вершини підстави висоти.
Якщо основа являє собою неправильний багатокутник (див. вище), то його площа слід розбити на прості фігури (наприклад, трикутники), обчислити їх площі та знайти їх суму.
У формулі для обсягу символом h позначена висота призми. Вона являє собою довжину перпендикулярного відрізку між двома підставами. Оскільки призма є похилій, то розрахунок висоти h слід проводити з використанням довжини бічного ребра b і двогранних кутів між бічними гранями і підставою.
Правильна фігура і її обсяг
Якщо підставою чотирикутної призми є квадрат, а сама фігура буде прямий, то вона називається правильною. Слід пояснити, що пряма призма називається тоді, коли всі її бічні сторони є прямокутниками і кожен з них перпендикулярний підстав. Правильна фігура показана нижче.
Об’єм правильної чотирикутної призми може бути обчислений за тією ж формулою, що і обсяг неправильної фігури. Оскільки підставою є квадрат, то його площа обчислюється просто:
So = a2
Висота призми h дорівнює довжині бічного ребра b (сторона прямокутника). Тоді об’єм правильної чотирикутної призми може бути розрахований по наступній формулі:
V = a2*h = a2*b
Правильна призма з квадратною основою називається прямокутним параллелепипедом. Цей паралелепіпед у разі рівності сторін a і b стає кубом. Обсяг останнього розраховується так:
V = a3
Записані формули для об’єму V свідчать про те, що чим вище симетрія фігури, тим менше лінійних параметрів потрібно для обчислення цієї величини. Так, у разі правильної призми необхідне число параметрів дорівнює двом, а у разі куба – одному.
Завдання з правильною фігурою
Розглянувши питання знаходження обсягу чотирикутної призми з точки зору теорії, можна застосувати отримані знання на практиці.
Відомо, що правильний паралелепіпед має довжину діагоналі основи, дорівнює 12 см Довжина його діагоналі бічної сторони становить 20 див. Необхідно розрахувати об’єм паралелепіпеда.
Позначимо діагональ підстави символом da, а діагональ бічної грані – символом db. Для діагоналі da справедливі вирази:
da = a*√2 =>
a = da/√2
Що стосується величини db, то вона є діагоналлю прямокутника зі сторонами a і b. Для неї можна записати такі рівності:
db2 = a2 + b2 =>
b = √(db2 – a2)
Підставляючи в останнє рівність знайдене вираз для a, отримаємо:
b = √(db2 – da2/2 )
Тепер можна підставити отримані формули у вираз для обсягу правильної фігури:
V = a2*b = da2/2*√(db2 – da2/2)
Замінивши da і db числами з умови задачі, приходимо до відповіді: V ≈ 1304 см3.
