Початок всьому поклали греки. Не нинішні, а ті, що жили раніше. Калькуляторів ще не було, а потреби в обчисленнях вже присутні. І майже будь обчислення призводило зрештою до прямокутних трикутниках. Вони дали рішення багатьох проблем, одна з яких звучала так: “Як знайти гіпотенузу, знаючи кут і катет?”.
Трикутники з прямим кутом
Незважаючи на простоту визначення, ця фігура на площині може задати чимало загадок. Багато випробували це на собі, хоча б у шкільній програмі. Добре ще, що на всі запитання він сам дає відповіді.
Але не можна ще спростити це нескладне поєднання сторін і кутів? Виявилося, можна. Досить зробити один кут прямий, тобто рівним 90°.
Здавалося б, яка різниця? Величезна. Якщо у всьому різноманітті кутів розібратися майже неможливо, то, зафіксувавши один з них, легко прийти до дивних висновків. Що і зробив Піфагор.
Він придумав слова “катет” і “гіпотенуза” або це зробив хтось інший — неважливо. Головне, що вони отримали імена не просто так, а завдяки своїм стосункам з прямим кутом. Дві сторони прилягали до нього. Це і були катети. Третя противолежала, вона стала гіпотенузою.
І що з того?
Хоча б те, що з’явилася можливість відповісти на питання, як знайти гіпотенузу за катету і кутку. Завдяки поняттям, введеним древнім греком, стали можливими логічні побудови відносин сторін і кутів.
Самі-то трикутники, прямокутні в тому числі, використовувалися ще при будівництві пірамід. Знаменитий єгипетський трикутник зі сторонами 3, 4 і 5, можливо, підштовхнув Піфагора до формулювання знаменитої теореми. Вона, в свою чергу, стала вирішенням проблеми, як знайти гіпотенузу, знаючи кут і катет
Квадрати сторін виявилися взаємно пов’язаними один з одним. Заслуга давнього грека не в тому, що він це помітив, а в тому, що зумів довести свою теорему для всіх інших трикутників, а не тільки єгипетського.
Тепер стало легко обчислити довжину одного боку, знаючи дві інші. Але в житті здебільшого виникають завдання іншого роду, коли треба дізнатися гіпотенузу, знаючи катет і кут. Як визначити ширину річки, не замочивши ніг? Легко. Будуємо трикутник, один катет якого і є ширина річки, іншого нам відомий з побудови. Знати б ще противолежащую бік… Рішення знайшли вже послідовники Піфагора.
Отже, завдання: як знайти гіпотенузу, знаючи кут і катет
Крім відносин квадратів сторін вони виявили ще безліч інших цікавих відносин. Для їх опису ввели нові визначення: синус, косинус, тангенс, котангенс та іншу тригонометрію. Позначення для формул були такими: Sin, Cos, Tg, Ctg. Що це таке, показано на малюнку.
Значення функцій, якщо відомий кут, давно вирахували і зведені в таблиці знаменитим російським вченим Брадисом. Наприклад, Sin30° = 0,5. І так для кожного кута. Повернемося тепер до річки, на березі якої ми провели лінію СА. Її довжина нам відома: 30 метрів. Самі ж проводили. На протилежній стороні стоїть дерево в точці Ст. Виміряти кут А праці не складе, нехай це буде 60°.
В таблиці синусів знаходимо значення для кута 60° – це 0,866. Значить, СААВ = 0,866. Тому АВ визначиться як СА:0,866 = 34,64. Тепер, коли відомі 2 сторони прямокутного трикутника обчислити третю праці не складе. Піфагор все зробив за нас, треба лише підставити цифри:
ВС = √АВ2 – AC2 = √1199,93 – 900 = √299,93 = 17,32 метра.
Ось так ми вбили двох зайців одним пострілом: з’ясували, як знайти гіпотенузу, знаючи кут і катет, і вирахували ширину річки.
