Апофема правильної трикутної піраміди: формула і приклад завдання

При вивченні характеристик просторових фігур в курсі стереометрії велика увага приділяється таким властивостям, як площа і об’єм. В той же час знати лінійні параметри фігур важливо, щоб мати можливість розрахувати зазначені властивості. У даній статті відповімо на питання, як знайти апофему піраміди правильної трикутної.

Яка фігура буде розглянута?

Трикутна піраміда з правильним підставою являє собою фігуру в просторі, яка обмежена одним рівностороннім трикутником (заснування) та трьома равнобедренными трикутниками (бокові сторони). Щоб мати можливість більш чітко уявити цю піраміду, покажемо її на малюнку.

Важливою точкою будь піраміди є її вершина, яка не належить основи. Якщо опустити перпендикуляр з неї на підставу, то його довжина буде заввишки фігури. Надалі будемо позначати висоту буквою h. Висота правильної піраміди падає точно в геометричний центр трикутника (точка перетину його медіан, а також бісектрис і висот). Другим лінійним параметром, який слід знати, довжина сторони основи трикутної піраміди, тобто довжина сторони рівностороннього трикутника. Позначимо її буквою a.

Трикутна піраміда має власну назву – тетраедр. Тетраедр не є чисто теоретичною геометричною фігурою. Вона також зустрічається в деяких природних структурах. Так, атом вуглецю в алмазі з’єднаний з чотирма такими ж атомами, що утворюють тетраедр. Інший приклад – це молекула метану, в якій вуглець, з’єднаний з чотирма атомами водню, утворює правильну трикутну піраміду.

Формула апофемы правильної трикутної піраміди

Перейдемо безпосередньо до питання статті. Для правильної трикутної піраміди апофемой називається будь-яка з висот бічних трикутників, опущена з вершини фігури. Позначимо її hb. Оскільки розглянута фігура складається з трьох бічних трикутників, які дорівнюють один одному, то вона має три однакових апофемы hb.

Дивіться також:  Запрошуємо на капусник: що таке капусник

Визначення довжини апофемы не становить великої праці. Припустимо, що висота h і довжина сторони a відомі. Проводимо висоту фігури і розглядаємо трикутник прямокутний, який знаходиться всередині піраміди і утворений такими сторонами:

  • апофемой hb (гіпотенуза);
  • висотою h (один катет);
  • 1/3 медіани m рівностороннього трикутника (другий катет).

Довжина медіани m трикутника підставі дорівнює:

m = √3/2*a

Користуючись теоремою Піфагора, отримуємо формулу для довжини апофемы hb:

hb = √((1/3*m)2 + h2) =>

hb = √(a2/12 + h2)

Ця формула показує, що довжина апофемы hb для будь-яких параметрів трикутної піраміди завжди більше її висоти h.

Рішення задачі на визначення значення hb

Вирішимо цікаву задачу. Розрахуємо довжину апофемы для тетраедра, у якого всі ребра рівні один одному.

Позначимо довжину ребра буквою a. Вона ж є стороною трикутника в основі. Щоб визначити hb, необхідно знайти h. Зробити це не складно, якщо розглянути прямокутний трикутник, утворений висотою h, ребром a і двома третинами медіани m. Отримуємо:

h = √(a2 – 4/9*m2) = √(a2 – 4/9*3/4*a2) = a*√(2/3)

Тепер застосовуємо формулу для апофемы, отримуємо:

hb = √(a2/12 + h2) = √(a2/12 + 2/3*a2) = √3/2*a

Ми отримали очевидний результат. Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює довжині медіани будь-якого з рівносторонніх трикутників.