З самого початку слід нагадати, щоб потім не плутатися: є цифри – їх 10. Від 0 до 9. Є числа, і вони складаються з цифр. Чисел нескінченно багато. Точно більше, ніж зірок на небі.
Математичний вираз − це записане за допомогою математичних символів повчання, які дії потрібно зробити з числами, щоб отримати результат. Не «вийти» на шуканий результат, як у статистиці, а дізнатися, скільки їх було. А ось чого і коли було вже не входить в сферу інтересів арифметики. При цьому важливо не помилитися у послідовності дій, що спочатку – додавання чи множення? Вираз в школі іноді називають «приклад».
Додавання і віднімання
Які ж дії можна виконати з числами? Є два базових. Це додавання і віднімання. Всі інші дії побудовані на цих двох.
Саме просте людське дію: взяти дві купки каміння і змішати їх в одну. Це і є додавання. Для того щоб отримати результат такої дії, можна навіть не знати, що таке додавання. Досить просто взяти купку каміння у Петі і купку каміння у Васі. Скласти все разом, порахувати все заново. Новий результат послідовного рахунку каменів з нової купки − це і є сума.
Точно так само не можна знати, що таке віднімання, просто взяти і поділити купу каміння на дві частини або забрати з купи якусь кількість каменів. Ось і залишиться в купі те, що називається різницею. Забрати можна тільки те, що є в купі. Кредит та інші економічні терміни в даній статті не розглядаються.
Щоб не перераховувати кожен раз камені, адже буває, що їх багато і вони важкі, придумали математичні дії: додавання і віднімання. І для цих дій придумали техніку обчислень.
Сума двох будь-яких цифр тупо заучиваются без всякої техніки. 2 плюс 5 рівно сім. Порахувати можна на рахункових паличках, каменях, риб’ячих головах – результат однаковий. Покласти спочатку 2 палички, потім 5, а потім порахувати все разом. Іншого способу немає.
Ті, хто розумніший, зазвичай це касири та студенти, заучують більше, не тільки суму двох цифр, але і суми чисел. Але найголовніше, вони можуть складати числа в розумі, використовуючи різні методики. Це називається навичкою усного рахунку.
Для додавання чисел, що складаються з десятків, сотень, тисяч і ще більших розрядів, використовують спеціальні техніки − додавання стовпчиком або калькулятор. З калькулятором можна не вміти складати навіть цифри, так і далі читати не потрібно.
Додавання стовпчиком − це метод, який дозволяє складати великі (багаторозрядні) числа, вивчивши тільки результати додавання цифр. При складанні стовпчиком послідовно складаються відповідні десяткові розряди двох чисел (тобто фактично дві цифри), якщо результат додавання двох цифр перевищує 10, то враховується тільки останній розряд цієї суми – одиниці числа, а до суми наступних розрядів додається 1.
Множення
Математики люблять групувати схожі дії для спрощення розрахунків. Так і операція множення є групуванням однакових дій – додавання однакових чисел. Будь-який твір N x M − є N операцій додавання чисел M. Це всього лише форма запису додавання однакових доданків.
Для обчислення добутку використовується такий же метод – спочатку тупо заучивается таблиця множення цифр один на одного, а потім застосовується метод порозрядного множення, що називається «в стовпчик».
Спочатку – множення або додавання?
Будь-математичне вираз – це фактично запис обліковця «з полів» про результати будь-яких дій. Припустимо, збору врожаю помідорів:
- 5 дорослих працівників зібрали по 500 помідорів кожен і виконали норму.
- 2 школярів не ходили на уроки математики і допомагали дорослим: зібрали по 50 помідорів, норму не виконали, з’їли 30 помідорів, надкусили і зіпсували ще 60 помідорів, 70 помідорів було вилучено з кишень помічників. Навіщо брали з собою їх у полі – незрозуміло.
Всі помідори здавали обліковцю, він укладав їх по купках.
Запишемо результат «збору» врожаю у вигляді виразу:
- 500 + 500 + 500 + 500 + 500 – це купки дорослих працівників;
- 50 + 50 – це купки малолітніх працівників;
- 70 – вилучено з кишень школярів (зіпсоване і надкушене у залік результату не йде).
Отримуємо приклад для школи, запис обліковця результатів роботи:
500 + 500 +500 +500 +500 + 50 +50 + 70 =?;
Тут можна застосувати угруповання: 5 купок по 500 помідорів − це можна записати через операцію множення: 5 ∙ 500.
Дві купки по 50 – це теж можна записати через множення.
І одна купка 70 помідорів.
5 ∙ 500 + 2 ∙ 50 + 1 ∙ 70 =?
І що робити в прикладі спочатку − множення або додавання? Так от, складати можна тільки помідори. Можна скласти 500 помідорів і 2 купки. Вони не складаються. Тому спочатку треба завжди всі записи призвести до базових операцій додавання, тобто в першу чергу обчислити всі операції угруповання-множення. Зовсім простими словами – спочатку виконується множення, а додавання вже потім. Якщо помножити 5 купок по 500 помідорів кожна, то вийде 2500 помідорів. А далі їх вже можна складати з помідорами з інших купок.
2500 + 100 + 70 = 2 670
При вивченні дитиною математики потрібно донести до нього, що це інструмент, який використовується в повсякденному житті. Математичні вирази є, по суті (у найпростішому варіанті початкової школи), складськими записами про кількість товарів, грошей (дуже легко сприймається школярами), інших предметів.
Відповідно, будь-який твір – це сума вмісту деякої кількості однакових ємностей, ящиків, купок, що містять однакову кількість предметів. І що спочатку множення, а додавання потім, тобто спочатку почала обчислити загальну кількість предметів, а потім уже складати їх між собою.
Розподіл
Операція ділення окремо не розглядається, вона зворотне множенню. Потрібно розподілити по коробках, так, щоб у всіх коробках було однакове задану кількість предметів. Самий прямий аналог в житті – це фасовка.
Дужки
Велике значення у вирішенні прикладів мають дужки. Дужки в арифметиці – математичний знак, який використовується для регулювання послідовності обчислень у виразі (прикладі).
Множення і ділення мають пріоритет вище, ніж додавання і віднімання. А дужки мають пріоритет вище, ніж множення і ділення.
Все, що записано в дужках, обчислюється в першу чергу. Якщо дужки вкладені, то спочатку обчислюється вираз у внутрішніх дужках. І це непорушне правило. Як тільки вираз в дужках обчислено, дужки зникають, а на їх місці виникає число. Варіанти розкриття дужок з невідомими тут не розглядаються. Так роблять до тих пір, поки всі вони не зникнуть з виразу.
((25-5) : 5 + 2) : 3 =?
(20 : 5 + 2) : 3 = (4 +2) : 3 = 6 : 3 = 2
Загальна: трьом дітям по два пучка цукерок (по пучку в руку), по 5 цукерок у пучку.
Якщо обчислити перші дужки у виразі і переписати все наново, приклад стане коротшим. Метод не швидкий, з великою витратою паперу, зате дивно ефективний. Заодно тренує уважність при переписуванні. Приклад приводиться до вигляду, коли залишається тільки одне питання, спочатку множення або додавання без дужок. Тобто до такого вигляду, коли дужок вже і немає. Але відповідь на це питання вже є, і немає сенсу обговорювати, що йде спочатку – множення або додавання.
«Вишенька на торті»
І наостанок. До математичного виразу не застосовні правила російської мови – читати і виконувати зліва направо:
5 – 8 + 4 = 1;
Це простенький приклад може довести до істерики дитини або зіпсувати вечір його мамі. Тому що іменний їй доведеться пояснювати другокласнику, що бувають від’ємні числа. Або валити авторитет «МарьиВановны», яка сказала, що: «Потрібно зліва направо і по порядку».
«Зовсім вишня»
У Мережі гуляє приклад, що викликає труднощі у дорослих дядьків і тітоньок. Він не зовсім по розглянутій темі, що спочатку – множення або додавання. Він неначебто про те, що спочатку виконуєте дію в дужках.
Від перестановки доданків сума не міняється, від перестановки множників теж. Потрібно просто записувати вираз так, щоб не було потім болісно соромно.
6 : 2 ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ (1+2) = 6 ∙ ½ ∙ 3 = 3 ∙ 3 = 9
Тепер точно все!
