Шкільний курс геометрії поділяється на два великі розділи: планиметрию і стереометрії. Стереометрія вивчає просторові фігури та їх характеристики. У даній статті ми розглянемо, що таке пряма призма, і наведемо формули, які описують такі її властивості, як довжини діагоналей, об’єм і площа поверхні.
Що таке призма?
Коли школярів просять назвати визначення призми, то вони відповідають, що дана фігура являє собою два однакових паралельних багатокутника, сторони яких з’єднані параллелограммами. Це визначення є максимально загальним, оскільки воно не накладає умови на форму багатокутників, на їх взаємне розташування в паралельних площинах. Крім того, воно передбачає наявність з’єднують паралелограмів, до класу яких також відносяться квадрат, ромб і прямокутник. Нижче можна подивитися, що собою являє чотирикутна призма.
Ми бачимо що призма – це многогранник (полиэдр), що складається з n + 2 сторін, 2 × n вершин і 3 × n ребер, де n – кількість сторін (вершин) одного з багатокутників.
Обидва багатокутника прийнято називати підставами фігури, інші грані – це бічні сторони призми.
Поняття про прямій призмі
Існують призми різних видів. Так, говорять про правильних і неправильних фігурах, про трикутних, п’ятикутних і інших призмах, бувають опуклі і увігнуті фігури, нарешті, вони бувають похилими прямими. Про останніх поговоримо докладніше.
Пряма призма – це така фігура досліджуваного класу поліедрів, всі бічні чотирикутники якої мають прямі кути. Існує всього два типи таких чотирикутників – це прямокутник і квадрат.
Розглянутий вид фігури володіє важливою властивістю: висота прямої призми дорівнює довжині її бічного ребра. Відзначимо, що всі бічні ребра фігури рівні між собою. Що стосується бічних граней, то в загальному випадку вони один одному, не рівні. Їх рівність можливо якщо, крім того що призма є прямою, буде ще правильною.
Нижче малюнок демонструє пряму фігуру з п’ятикутним підставою. Видно, що всі її бічні грані – це прямокутники.
Діагоналі призми та її лінійні параметри
Основними лінійними характеристиками будь призми є її висота h і довжини сторін її заснування ai, де i = 1, …, n. Якщо основа є гратки правильним, тоді для опису його властивостей достатньо знати довжину a однієї сторони. Знання зазначених лінійних параметрів дозволяє однозначно визначити такі властивості фігури, як її об’єм або поверхню.
Діагоналі прямої призми являють собою відрізки, які з’єднують будь-які дві несуміжні вершини. Такі діагоналі можуть бути трьох типів:
- лежать у площинах підстави;
- знаходяться в площинах бокових прямокутників;
- належні обсягом фігури.
Довжини тих діагоналей, що відносяться до основи, слід визначати в залежності від типу n-кутника.
Діагоналі бічних прямокутників розраховуються за наступною формулою:
d1i = √(ai2 + h2).
Для визначення об’ємних діагоналей необхідно знати значення відповідної довжини діагоналі основи та висоти. Якщо деяку діагональ підстави позначити буквою d0i, тоді об’ємна діагональ d2i обчислюється так:
d2i = √(d0i2 + h2).
Наприклад, у разі правильної чотирикутної призми довжина об’ємної діагоналі буде дорівнює:
d2 = √(2 × a2 + h2).
Зазначимо, що пряма трикутна призма володіє лише одним із трьох названих типів діагоналей: діагоналлю бічної сторони.
Поверхню досліджуваного класу фігур
Площа поверхні являє собою сукупність площ всіх граней фігури. Щоб наочно уявити всі межі, слід зробити розгортку призми. В якості прикладу така розгортка для п’ятикутні фігури наведена нижче.
Ми бачимо, що кількість плоских фігур дорівнює n + 2, причому n – це прямокутники. Щоб розрахувати площа всієї розгортки, слід скласти площі двох однакових підстав і площі всіх прямокутників. Тоді відповідна формула буде мати вигляд:
S = 2 × So + h × ∑i=1n (ai).
З цієї рівності видно, що площа бічної поверхні для досліджуваного виду призми дорівнює добутку висоти фігури на периметр її заснування.
Площа підстави So можна розрахувати, застосовуючи відповідну геометричну формулу. Наприклад, якщо основа прямої призми – прямокутний трикутник, тоді отримуємо:
So = a1 × a2 / 2.
Де a1 і a2 – катети трикутника.
Якщо ж основа являє собою n-кутник з рівними кутами і сторонами, тоді буде справедливим застосування такої формули:
So = n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Формула обсягу
Визначення обсягу призми будь-якого виду не є складним завданням, якщо відомі значення її площі підстави So і висоти h. Перемноживши ці значення між собою, ми отримаємо обсяг V фігури, тобто:
V = So × h.
Оскільки у прямої призми параметр h дорівнює довжині ребра бічного, то вся проблема обчислення обсягу зводиться до розрахунку площі So. Вище ми вже сказали кілька слів і привели пару формул, що дозволяють визначити So. Тут лише зазначимо, що у разі заснування довільної форми, слід розбити на прості сегменти (трикутники, прямокутники), розрахувати площу кожного, а потім скласти всі площі, щоб отримати So.
