Рівняння гіперболоїда
У загальному випадку поверхня може бути задано такими рівняннями в декартових координатах(x,y,z):
У разі гіперболоїда обертання його симетрія відносно осі, навколо якої оберталися, виражається в рівності коефіцієнтів a=b.
Характеристики гіперболоїда
У нього є фокус. Ми знаємо, що фокуси є у кривих на площині – у випадку з гіперболою, наприклад, модуль різниці відстаней від довільної точки, на гіперболи до фокуса і другого постійний за визначенням, власне, точок фокуса.
При переході в тривимірний простір визначення практично не змінюється: фокуси – це знову дві точки, і різниця відстаней від них до довільної точки, яка належить поверхні гіперболоїда, постійна. Як видно, із змін з’явилася тільки третя координата у всіх можливих точок, тому що тепер вони задаються в просторі. Взагалі кажучи, визначення фокусу еквівалентно виявлення типу кривої або поверхні: говорячи про те, як розташовані точки поверхні відносно фокусів, ми фактично відповідаємо на питання, що таке гіперболоїд і як він виглядає.
Варто згадати, що у гіперболи є асимптоти – прямі, до яких її гілки прагнуть на нескінченності. Якщо при побудові гіперболоїда обертання подумки обертати асимптоти разом з гіперболою, то крім гіперболоїда вийде ще й конус, званий асимптотичних. Асимптотичний конус є як у однополостных, так і у двуполостных гіперболоїдів.
Ще одна важлива характеристика, наявна лише у однополостного гіперболоїда, – прямолінійні твірні. Як видно з назви, це лінії, і вони повністю лежать на заданій поверхні. Через кожну точку однополостного гіперболоїда проходять дві прямолінійні твірні. Вони належать відповідно двом родинам прямих, які описуються наступними системами рівнянь:
Таким чином, однополостный гіперболоїд цілком можна скласти з нескінченного числа прямих ліній двох родин, причому кожна лінія одного з них буде перетинатися з усіма лініями іншого. Поверхні, які відповідають таким властивостям, називаються лінійчатими; їх можна побудувати за допомогою обертання одній прямій. Визначення через взаємне розташування прямих (прямолінійних твірних) в просторі, також може служити однозначним позначенням того, що таке гіперболоїд.
