Важливим розділом геометрії, який вивчають у старших класах шкіл, є стереометрія. Об’єкти її дослідження – це характеристики і властивості фігур у тривимірному просторі. Дана стаття присвячена питанню площі повної поверхні призми.
Про якому геометричному об’єкті піде мова?
Перш ніж розглядати у призми площа повної поверхні, необхідно пояснити, що вона собою являє. Під нею в стереометрії розуміють об’ємне тіло, яке обмежене кількома гранями. Дві з них лежать у паралельних площинах і є абсолютно однаковими, вони називаються підставами фігури. Інші грані пов’язують відповідні сторони підстав між собою і називаються бічними. Щоб зрозуміти, яка фігура описана вище, наведемо приклад першого періоду призми.
Так вона називається через числа кутів в підставі. З малюнка видно, якщо 10 – це число кутів багатокутного підстави, то кількість сторін фігури дорівнює 10+2 = 12, число її вершин становить 2*10 = 20, а кількість ребер дорівнює 3*10 = 30. На малюнку бічні грані являють собою квадрати. В загальному випадку ці межі є параллелограммами.
Всі представники класу призм класифікуються за кількома ознаками. Головним чином, ці ознаки визначаються типом багатокутного підстави. Так, воно може бути увігнутих і опуклих, правильним і довільної форми. Якщо всі сторони бічні є прямокутниками або квадратами, то говорять про прямі фігурах. Якщо ж деякі з цих сторін будуть параллелограммами довільного типу, то призма називається похилою. Особливий клас – це правильні геометричні об’єкти. Крім того, що вони є прямими, їх підстави являють собою рівносторонні і рівнокутні плоскі многокутники. На малюнку нижче наведений широкий набір правильних призм.
Поверхня фігури
Під поверхнею будь призми розуміють сукупність всіх точок, які лежать на гранях і утворюють їх. Оскільки досліджуваний багатогранник складається з двох типів сторін, то виділяють площа поверхні бічної Sb і площа підстав 2*So, де символ So позначає одне многоугольное основу.
Найзручніше поверхню вивчати на прикладі плоскої розгортки, яка виходить, якщо відрізати дві підстави від фігури, а бічну поверхню розрізати уздовж будь-якого бічного ребра і розгорнути. Наприклад, розгортка шестикутної призми показано нижче на малюнку.
Оскільки шестикутники є правильними, і всі бічні сторони дорівнюють один одному і являють собою прямокутники, то перед нами розгортка правильної фігури.
Формули повної площі
Вище ми з’ясували, що знайти площу повної поверхні призми можна за наступною формулою:
S = Sb + 2*So.
Для площі підстави однозначної формули не існує, оскільки воно може приймати абсолютно довільну геометричну форму. Однак, якщо підстава є правильним, і його сторона дорівнює a, тоді для обчислення So можна скористатися наступним виразом:
So = n/4*ctg(pi/n)*a2.
Де латинською буквою n позначено кількість сторін підстави.
Для визначення величини Sb можна застосувати наступні вирази:
Sb = ∑i=1n(ai*hbi);
Sb = h*∑i=1n(ai );
Sb = n*a*h.
Перший вираз тут використовується тоді, коли всі сторони бічні являють собою паралелограми (hbi – висота i-го паралелограма), друга формула застосовується для прямої призми, а третя формула – для правильної.
Приклад завдання
Необхідно обчислити площу повної поверхні правильної трикутної призми. Сторона її підстави дорівнює 10 см, а бічна сторона складає 7 див.
Ця призма складається з 5 граней: 3 однакових прямокутника і 2 рівностороннього трикутника. Спочатку запишемо формулу для повної площі S, маємо:
So = 3/4*ctg(pi/3)*a2 = √3/4*a2;
Sb = 3*a*h.
S = 2*So + Sb = √3/2*a2 + 3*a*h.
Тепер залишилося підставити числа з умови задачі і отримати відповідь: S = 296,6 см2.
