Вивчаючи об’ємні фігури в курсі стереометрії, школярі часто стикаються із завданням визначення площі їх поверхні. Успішне вирішення цієї задачі можливо, якщо чітко уявляти, з якою фігурою ведеться робота. Дана стаття присвячена питанню визначення площі поверхні правильної піраміди (чотирикутної).
Опис фігури
Почнемо розкриття питання статті з визначення правильної чотирикутної піраміди. Під нею в геометрії розуміють фігуру в просторі, яка утворена одним квадратом і чотирма однаковими равнобедренными трикутниками (при певних параметрах фігури ці трикутники можуть бути рівносторонніми). Приклад даної фігури показаний нижче.
Кожен рівнобедрений трикутник перетинається з бічним граням з двома сусідніми трикутниками, і за межі підстави – з квадратом. Крім того, всі чотири трикутника перетинаються в одній точці, яка носить назву головної вершини піраміди. Крім неї, фігура має ще чотири вершини, але всі вони належать основи.
Чотирикутної ця піраміда називається тому, що її основа є чотирикутником. А правильної вона вважається тому, що це підстава являє собою квадрат, та сама фігура є прямою. Останнє означає, що опущений з вершини перпендикуляр на квадрат перетинає його точно в геометричному центрі.
Що собою являє площа поверхні правильної піраміди (чотирикутної)
Багатьом буде нелегко відповісти на це питання. Дійсно, ми розглядаємо об’ємну фігуру, а коли говорять про площах, то мають на увазі силует на площині. У зв’язку зі сказаним у геометрії для обчислення площ просторових об’єктів використовують їх плоскі розгортки.
Розгортку розглянутої піраміди отримати нескладно. Припустимо, що у нас є паперова фігура з квадратною основою. Візьмемо ножиці і відріжемо від неї квадрат. Потім разрєжєм уздовж бічного ребра (відрізок перетину трикутників) пірамідальну поверхню і розгорнемо її в пласку інтерпретацію. У результаті цих дій у нас вийде плоска фігура, подібна до тієї, що показана на малюнку.
Таким чином, відповідаючи на питання, як знайти площу правильної чотирикутної піраміди, слід сказати, що для цього потрібно скласти площа квадрата і площі чотирьох однакових трикутників.
Формули для знаходження величини
З планіметрії відомо, що розрахунок площі проводиться з урахуванням знання лінійних параметрів плоскої фігури. У нашому випадку мова йде про два типи об’єктів: равнобедренном трикутник і квадрат.
Позначимо сторону чотирикутника буквою a, а висоту трикутника hb (вона називається апофемой піраміди). Тоді для площі So квадрата можна записати:
So = a2
Площа ж трикутника S3 буде дорівнює:
S3 = 1 / 2 * a * hb
Оскільки трикутники з площею S3 у цій піраміді чотири штуки, то формула площі поверхні правильної піраміди (чотирикутної) прийме вигляд:
S = So + 4 * S3 = a2 + 4 / 2 * a * hb = a * (a + 2 * hb)
При вирішенні деяких завдань замість апофемы hb може бути відомий інший лінійний параметр піраміди – висота h. Тому буде корисним, якщо ми тут наведемо формулу для S через параметри a і h.
Вирішити поставлену задачу можна, якщо побачити всередині піраміди трикутник прямокутний, і розрахувати гіпотенузу-апофему за наступною формулою:
hb = √(h2 + a2 / 4)
Підставляючи цей вираз в записану вище формулу для S, отримуємо:
S = a * (a + 2 * √(h2 + a2 / 4))
Це вираз виглядає дещо складніше, ніж перше. Тим не менше, воно частіше використовується при розгляді геометричних проблем з чотирикутної піраміди.
Записані формули для площі розглянутої фігури можна не запам’ятовувати, важливо лише чітко уявляти розгортку піраміди і вміти знаходити площу трикутника.
Використання формули площі чотирикутної піраміди на прикладі споруди Хеопса
Звичайно ж, мова йде про піраміду Хеопса – самої знаменитої кам’яної споруди за всю відому нам історію. Розрахуємо площу поверхні цього гіганта, використовуючи наступні дані про нього:
- середнє значення довжини сторони підстави одно 230,363 метра;
- початкова висота споруди становила 146,50 метра.
Щоб знайти шукану площу, слід скористатися другою формулою, наведеною у попередньому пункті статті. Зробимо це:
S = a * (a +2 * √(h2 + a2 / 4)) = 230,3632 + 230,363 * 2 * √(146,502 + 230,3632 / 4) ≈ 138 927 м2
Щоб зрозуміти, наскільки величезна розраховане значення, порівняємо його з параметрами футбольного поля (5 000 м2). Повна площа поверхні правильної чотирикутної піраміди Хеопса майже в 28 разів більше величини майданчики для гри.
