Формула площі правильної піраміди. Рішення геометричної задачі

У цій статті розглянемо, як розраховувати площа правильної піраміди. Геометричні властивості фігур у просторі вивчає стереометрія. Цей розділ геометрії використовує поняття довжин відрізків і кутів між ними для визначення таких характеристик фігур, як площа або об’єм.

Що це за фігура?

Перш ніж переходити до розгляду конкретних формул площі правильної піраміди (бічна поверхні і підстави), слід пояснити, що вона являє собою з точки зору геометрії. Пояснимо.

Пірамідою називають будь-який геометричний об’єкт в просторі, який утворений в результаті з’єднання однієї точки з усіма вершинами деякого багатокутника. Так утворюється фігура. Загальна точка називається вершиною і площини многокутника не належить.

Вище показано три різних піраміди. Видно, що вони відрізняються кількістю сторін багатокутного підстави (три, чотири і п’ять). Проте всі ці фігури об’єднує те, що їх бічна поверхня складається з трикутників. Кількість їх різне, воно дорівнює числу сторін підстави.

З малюнка видно, що будь-яка піраміда складається з ребер, вершин і граней. Їх сукупність утворює єдиний об’єкт. Якщо з його вершини (точка перетину бічних трикутників) опустити перпендикуляр до основи, то його довжина буде заввишки фігури. Якщо цей відрізок закінчується в центрі підстави, то така піраміда буде називатися прямій. З цим розібралися, йдемо далі.

Пряма піраміда, основа якої є рівностороннім і рівнокутним гратки, називається правильною. Наведемо приклад. Піраміда Хеопса – це правильна чотирикутна фігура, оскільки вона є прямою і має квадратну основу.

Формули для визначення значень

У стереометрії для вивчення площі правильної піраміди і інших об’ємних фігур використовують їх розгортки. Пояснимо графічно. На малюнку показано, що являє собою розгортка правильної чотирикутної піраміди. Тепер стає більш зрозуміло, як проводити розрахунки.

Дивіться також:  Середнє і миттєве прискорення і швидкість. Формули. Приклад завдання

Видно, що площа правильної піраміди має дві складові: заснування і бічну поверхню. Присвоїмо змінні.

Позначимо площу основи символом So. Для обчислення цієї величини існує універсальна формула для правильного n-кутника. Вона має вигляд:

Sn = n / 4 * a2 * ctg (pi/n).

Тут n – кількість сторін підстави, a – сторона n-кутника.

У правильній піраміді всі трикутники, які утворюють бічну поверхню, рівні між собою і в загальному випадку є равнобедренными. Це означає, що для визначення фігури площі бічної поверхні (позначимо її Sb) необхідно знайти цей параметр у одного трикутника, а потім помножити на їх кількість. Запишемо формулу. Площа бічної сторони правильної піраміди розраховується так:

Sb1 = 1 / 2 * a * hb.

Тут hb – це висота трикутника, яка називається апофемой піраміди .

Оскільки кількість трикутників дорівнює числу сторін n-вугільного підстави, то отримуємо формулу для обчислення величини Sb:

Sb = n * Sb1 = n * a * hb / 2.

Тоді загальну площу правильної піраміди можна обчислити за формулою:

S = So + Sb = n / 4 * a2 * ctg(pi/n) + n * a * hb / 2.

Рішення завдання

Умова. Відомо, що правильна чотирикутна піраміда має довжину сторони основи 10 см і висоту 12 див. Чому дорівнює площа її поверхні?

Рішення. Площа поверхні основи (квадрата) дорівнює:

So = a2 = 100 см2.

Щоб обчислити площу бічної поверхні , необхідно знати апофему hb фігури. Якщо розглянути прямокутний трикутник всередині піраміди, то апофема, що є в ньому гіпотенузою, обчислюється так:

hb = √(a2 / 4 + h2) = 13 див.

Тоді площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює:

Sb = n * a * hb / 2 = 4 * 10 * 13 / 2 = 260 см2.

Складаючи отримані значення So і Sb, приходимо до відповіді на питання завдання: S = 360 см2.

У статті розглянуто, як знайти площу фігури, званої правильної пірамідою.