Циліндр є однією з поширених форм просторових тіл, з якими ми стикаємося щодня. Дійсно, гуртка, таблетка, димар, труба та інші предмети мають циліндричну форму. У цій статті розглянемо питання, як розрахувати обсяг циліндра, використовуючи різні відомі параметри цієї фігури.
Визначення циліндра в геометрії
Перш ніж переходити до відповіді на питання, як розрахувати обсяг циліндра, розберемося, з якою фігурою ми маємо справу.
З геометричної точки зору циліндр утворений двома одновимірними елементами. Перший – це крива, яка є направляючою. Другий – це прямий відрізок, який називається твірною. Коли відрізок не знаходиться в площині кривої, якщо його один кінець з’єднати з кривою і переміщати паралельно самій собі вздовж неї, то ми отримаємо циліндричну поверхню.
Під надане визначення підходить безліч просторових фігур, включаючи гіперболічні, параболічні та еліптичні циліндри. Тим не менш в даній статті будемо розглядати тільки круглий прямий циліндр. Круглим він називається по причині того, що його заснування є колами (напрямна – окружність), а прямий він тому, що відрізок утворює перпендикулярний підстав. Для наочності описаний циліндр показаний на малюнку.
Як розрахувати обсяг циліндра через радіус (діаметр) і висоту?
Відповіддю на це питання є стандартна формула, яка справедлива для будь-якого циліндра і навіть призми. Запишемо її:
V = So * h
Оскільки в розглянутому випадку підстава – це правильне коло, то можна конкретизувати це вираз і переписати його в наступному вигляді:
V = pi * r2 * h
Якщо відомий діаметр, то знайти об’єм циліндра можна, використовуючи такий вираз:
V = pi / 4 * d2 * h
Визначення обсягу циліндра через площу бічної поверхні
Ще одним способом розрахувати об’єм циліндра, є використання площі його бічної поверхні. Цією поверхнею називається сукупність всіх точок, що утворюють, які з’єднують дві підстави фігури. Бічна поверхня має циліндричну форму. Якщо її розрізати вздовж одній з утворюючих і розкрити, то вийде розгортка фігури, показана нижче.
Видно, що в розгорнутому вигляді бічна поверхня є звичайним прямокутником, сторони якого дорівнюють висоті і довжині кола основи. Останній факт дозволяє записати формулу для площі Sb цієї фігури:
Sb = 2 * pi * r * h
Якщо відомий радіус r фігури, тоді висота її дорівнює:
h = Sb / (2 * pi * r)
Тоді для об’єму V формула для циліндра запишеться у вигляді:
V = r * Sb / 2
Якщо відома площа Sb і висота h, тоді радіус фігури буде дорівнює:
r = Sb / (2 * pi * h)
Підставляючи його у вираз для обсягу, приходимо до наступної формули:
V = Sb2 / (4 * pi * h)
Можна помітити, що обидві формули з використанням бічної площі Sb відповідають розмірності обсягу (м3).
Важливо розуміти, що обсяг круглого прямого циліндра можна визначити тільки в тому випадку, якщо відомі які-небудь два його параметра.
Задача на розрахунок обсягу циліндра через площу його повної поверхні
Припустимо, що циліндр має висоту 21 см, а площа його розгортки становить 335 см2. Необхідно визначити обсяг фігури.
Жодна з наведених вище формул не здатна дати нам шуканий відповідь. В такому випадку, як розрахувати об’єм циліндра? Як вище було сказано, досить знати будь-які два параметри фігури, щоб визначити величину V. У цьому випадку запишемо спочатку формулу для загальної площі циліндра:
S = Sb + 2 * So = 2 * pi * r * h + 2 * pi * r2
Підставимо в цю рівність відомі дані, отримаємо:
r2 + 21 * r – 53,34 = 0
Після підстановки даних ми розділили ліву і праву частини на 2 * pi і перенесли всі члени в одну частину рівності.
Таким чином, перед нами стоїть завдання вирішення квадратного рівняння. Використовуємо стандартний метод рішення через дискриминант, маємо:
дискриминант D = 654,36;
r = 2,29 див.
При вирішенні рівняння ми відкинули від’ємний корінь.
Тепер для визначення обсягу циліндра можна скористатися формулою з параметрами r і h. Підставляючи їх у вказану формулу, приходимо до відповіді на завдання: V = 345,8 см3.
