Багато гази у фізиці прийнято описувати в рамках ідеальної моделі, за допомогою якої можна легко визначити основні термодинамічні характеристики системи. У цій статті наведемо висновок формули Майєра для ідеального газу і покажемо, як її можна використовувати для вирішення задачі.
Ідеальний газ і його рівняння
Щоб зрозуміти виведення формули Майєра, варто ближче познайомитися з моделлю ідеального газу. Згідно їй, термодинамічна система являє собою сукупність часток, які не володіють розмірами (є матеріальними точками). Їх кінетична енергія є єдиною складовою внутрішньої енергії системи (потенційна енергія взаємодії дорівнює нулю), і швидкості частинок підпорядковуються класичного розподілу Максвелла-Больцмана.
Описана модель добре підходить для багатьох реальних газоподібних систем, що складаються з хімічно інертних атомів і молекул, і мають невисокі тиску і температури в кілька сотень кельвін.
Ідеальний газ описується універсальним вираженням, яке називається законом Клапейрона-Менделєєва. Воно приведене нижче:
P*V = n*R*T.
Тут P, V, T – три термодинамічні величини: тиск, об’єм і температура. Параметри n і R – це кількість речовини в системі і постійна для всіх газів, відповідно.
Внутрішня енергія та ізохорний процес
Згідно з визначенням, внутрішня енергія U довільної системи дорівнює сумі потенційної і кінетичної енергій її елементів. Вище зазначалося, що в ідеальній моделі газові молекули і атоми одна з одною не взаємодіють, це означає, що внутрішня енергія визначається виключно кінетичної складової.
З кінетичної теорії газів слід рівність, що пов’язує середню кінетичну енергію частинки з абсолютною температурою в системі:
m*v2/2 = z/2*kB*T.
Де m – маса однієї частинки, kB – константа Больцмана, v – швидкість середня квадратична, z – число ступенів свободи. Якщо обидві частини рівності помножити на кількість N частинок в системі, то ми отримаємо вираз для внутрішньої енергії U:
U = z/2*N*kB*T = z/2*n*R *T.
При записі цього виразу ми скористалися наступними рівностями:
n = N/NA; R = kB*NA.
Тепер розглянемо питання визначення внутрішньої енергії газу з точки зору термодинаміки. Звернемося до изохорному процесу. У результаті нього все підводиться тепло йде на нагрів системи, оскільки обсяг залишається постійний, і робота газу дорівнює нулю, тобто:
dU = Q.
У свою чергу, зміна величини U можна записати так:
dU = CV*dT.
Де CV – теплоємність при постійному об’ємі. Ця величина показує, скільки енергії у джоулях необхідно затратити, щоб нагріти систему на 1 Кельвін. Порівнюючи цей вираз з формулою для U, яка отримана з кінетичної теорії, приходимо до рівності:
CV = z/2*n*R.
Замість теплоємності CV часто користуються молярної изохорной теплоємність, тобто тією ж величиною, тільки для 1 моля газу:
CV = z/2*R.
Формула Майєра для теплоємностей
Щоб отримати названу формулу, слід розглянути з точки зору термодинаміки ізобарний процес. Під ним розуміють перехід системи між двома рівноважними станами, при якому тиск не змінюється. Припустимо, що в розглянутій системі міститься 1 моль газу, тоді перше початок термодинаміки для изобарного процесу прийме вигляд:
Q = dU + P*dV.
Тепер введемо поняття про изобарной теплоємності CP. Під нею розуміють кількість теплоти, що слід системі повідомити, щоб вона нагрілася на 1 Кельвін, а її тиск при цьому не змінилося. Це визначення дозволяє переписати рівність вище у вигляді:
CP*dT = dU + P*dV.
Якщо згадати рівняння для 1 моля ідеального газу і вираз для зміни внутрішньої енергії, то це рівність запишеться так:
CP*dT = CV*dT + R*dT =>
CP = CV + R.
Цей вираз називається формулою Майєра для ідеального газу. Воно показує, що ізобарна теплоємність завжди більше изохорной на величину газової постійної для 1 моля газу. Значення ж газової сталої R також набуває конкретний фізичний зміст – це робота, яку здійснює один моль газу під час його изобарного розширення при нагріванні на один Кельвін.
Завдання на визначення теплоємності повітря
Необхідно обчислити молярні теплоємності СР і СV для повітря, вважаючи його ідеальним газом.
Вирішити цю задачу нескладно, якщо згадати, що изохорная молярна теплоємність дорівнює:
CV = z/2*R.
Тоді згідно з формулою Майєра молярна величина CP буде дорівнює:
CP = CV + R = (2+z)/2*R.
Оскільки повітря на 99% утворений двохатомних молекулами O2 і N2, то z для нього дорівнює 5. Підставляючи це значення, а також значення R=8,314 Дж/(К*моль) в формули, отримуємо відповіді на завдання: CV = 20,8 Дж/(К*моль), CP = 29,1 Дж/(К*моль).
