У всіх школах у старших класах проходять курс стереометрії, в якому розглядають характеристики різних просторових фігур. Дана стаття присвячена вивченню властивостей однією з таких фігур. Розглянемо, що таке правильна трикутна призма.
Призма в геометрії
Згідно стереометрическому визначенням, призма є об’ємною фігурою, що складається з n паралелограмів і двох однакових n-вугільних підстав, де n – ціле позитивне число. Обидва підстави розташовані в паралельних площинах, а паралелограми з’єднують попарно їх боку в єдину фігуру.
Будь-яку призму можна отримати наступним способом: слід взяти плоский n-кутник і перемістити його паралельно самому собі в іншу площину. В процесі переміщення вершини n-кутника прочертят n відрізків, які будуть бічними ребрами призми.
Призми можуть бути опуклими і увігнутими, прямими і косоугольными, правильними і неправильними. Всі ці види фігур відрізняються один від одного формою n-кутників у основі, а також їх розташуванням щодо перпендикулярного їм відрізку, довжина якого є висотою призми. Нижче малюнок демонструє набір призм із різним числом кутів в підставі і кількістю бічних граней.
Правильна трикутна призма
Перша призма на фотографії вище є правильної трикутної. Вона складається з двох однакових рівносторонніх трикутників і з трьох прямокутників. Прямокутник є приватним випадком паралелограма, тому розглянута фігура задовольняє викладеним раніше стереометрическому визначенням.
Крім п’яти граней, трикутна призма утворена шістьма вершинами, які належать обом підстав, і дев’ятьма ребрами, три з яких є боковими.
Важливою властивістю правильної трикутної призми є те, що її висота збігається з довжиною бічного ребра. Всі ці ребра дорівнюють один одному, а бічні прямокутники перетинають підстави під прямими кутами. Зазначимо, що прямі двогранні кути між засновками і бічними гранями призводять до того, що паралелограми похилій призми стають прямокутниками в прямій фігурі. Очевидно, що при певних довжинах ребер прямокутники можуть стати квадратами.
Важливими властивостями будь об’ємної фігури є площа її поверхні і ув’язнений в ній обсяг простору. Вивчається призма не є винятком, тому розглянемо її докладні характеристики.
Площа поверхні
Площа правильної трикутної призми утворена площами всіх її п’яти граней. Відомо, що площа просторових фігур простіше розглядати і вивчати на площині, тому зручно зробити розгортку призми. Вона показана нижче.
Розгортка представлена п’ятьма фігурами двох типів, які в призмі були гранями.
Для визначення площі всіх цих фігур введемо наступні позначення: будемо вважати довжину сторони основи дорівнює a, а висоту (довжину бічного ребра) дорівнює h. З урахуванням позначень одержуємо площа одного трикутника:
S3 = √3 / 4 × a2
При запису цієї формули використовувалося стандартне вираз для площі трикутника. Площа одного прямокутника дорівнює:
S4 = a × h
З урахуванням числа трикутників, прямокутників (див. розгортку вище) отримаємо формулу для площі повної поверхні досліджуваної геометричної фігури:
S = 2 × S3 + 3 × S4 = √3 / 2 × a2 + 3 × a × h
Тут перший член у правій частині рівності описує площа двох підстав, другий член дозволяє обчислити площу поверхні бічної.
Нагадаємо, що отримана для S формула справедлива лише для прямої правильної трикутної призми. Якщо б ми розглядали похилу фігуру, то вираз для S мало б інший вигляд.
Формула для визначення об’єму фігури
Об’ємом будь просторової фігури називається та частина простору, яку обмежують грані багатогранника. Обсяг будь призми, незалежно від форми її заснування і бічних сторін, може бути визначений по наступній формулі:
V = S0 × h
Тобто достатньо помножити площу однієї підстави на висоту всієї фігури, щоб отримати шукане значення обсягу.
Для випадку трикутної призми отримуємо наступний вираз для V:
V = S0 × h = S3 × h = √3 / 4 × a2 × h
Записана формула для V, а також вираз для S в попередньому пункті залежать від двох параметрів фігури: довжин a і h. Тобто знання всього двох будь-яких лінійних параметрів дозволяє розрахувати всі властивості досліджуваної призми.
Рішення завдання
У фізиці правильна трикутна призма, виготовлена з суцільного скла, часто застосовується для розкладання електромагнітного потоку у видимій області спектра на низку частот з метою їх вивчення. Необхідно визначити, який обсяг скла знадобиться, щоб виготовити призму з площею поверхні 300 см2 і довжиною сторони основи 10 див.
Спочатку визначимо висоту призми h. Скористаємося формулою для S, маємо:
S = √3 / 2 × a2 + 3 × a × h =>
h = (S – √3 / 2 × a2) / (3 × a) = (300 – √3 / 2 × 102) / (3 × 10) = 7,11 см
Оскільки ми знаємо значення a і h, то для визначення об’єму призми скористаємося формулою для V:
V = √3 / 4 × a2 × h = √3 / 4 × 102 × 7,11 = 307,87 см3
Таким чином, щоб виготовити описану призму, знадобиться близько 308 см3 скла.
