Площа поверхні прямої призми: формули і приклад завдання

Об’єм і площа поверхні – це дві важливі характеристики будь-якого тіла, що має кінцеві розміри в тривимірному просторі. У цій статті розглянемо відомий клас многогранників – призми. Зокрема, буде розкрито питання, як знайти площу поверхні прямої призми.

Що собою являє призма?

Призмою називається будь-багатогранник, який обмежений кількома параллелограммами і двома рівними багатокутниками, розташованими в паралельних площинах. Ці багатокутники вважають підставами фігури, а її паралелограми – це бічні сторони. Кількість сторін (кутів) підстави визначає назву фігури. Наприклад, на малюнку зображена п’ятикутна призма.

Відстань між основами називається висотою фігури. Якщо висота дорівнює довжині кожного бічного ребра, то така призма буде прямою. Другим достатньою ознакою для прямої призми є те, що у неї все бокові сторони являють собою прямокутники або квадрати. Якщо ж хоча б одна бічна сторона є паралелограмом загального виду, то фігура буде похилою. Нижче можна подивитися, як візуально відрізняються пряма і похила призми на прикладі чотирикутних фігур.

Площа поверхні прямої призми

Якщо геометрична фігура має n-вугільне підстава, тоді вона складається з n+2 граней, n з яких є прямокутниками. Позначимо довжини сторін основи символом ai, де i = 1,2,…,n, а висоту фігури, яка дорівнює довжині бічного ребра, позначимо h. Щоб визначити площу (S) поверхні всіх граней, необхідно скласти площа So кожного з підстав і всі площі бічних сторін (прямокутників). Таким чином, формулу для S в загальному вигляді можна записати так:

S = 2*So + Sb

Де Sb – площа бічної поверхні.

Оскільки основою прямої призми може бути абсолютно будь-який плоский багатокутник, єдиної формули для обчислення So привести не можна, і для визначення цієї величини у загальному випадку слід проводити геометричний аналіз. Наприклад, якщо підстава являє собою правильний n-кутник зі стороною a, тоді його площа обчислюється за формулою:

So = n/4*ctg(pi/n)*a2

Що стосується величини Sb, то вираз для її обчислення призвести можна. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює:

Sb = h*∑i=1n(ai)

Тобто величина Sb обчислюється як добуток висоти фігури на периметр її заснування.

Дивіться також:  Булгарська мова: історія, особливості вивчення

Приклад розв’язання задачі

Застосуємо отримані знання для вирішення наступної геометричної задачі. Дана призма, основу якої являє собою прямокутний трикутник зі сторонами при прямому куті 5 см і 7 см Висота фігури становить 10 див. Необхідно знайти площу поверхні прямої трикутної призми.

Для початку обчислимо гіпотенузу трикутника. Вона буде дорівнює:

c = √(52 + 72) = 8,6 см

Тепер зробимо ще одну підготовчу математичну операцію – розрахуємо периметр підстави. Він складе:

P = 5 + 7 + 8,6 = 20,6 см

Площа бічної поверхні фігури обчислюється як добуток величини P на висоту h=10 см, тобто Sb = 206 см2.

Щоб знайти площу всієї поверхні, до знайденої величини слід додати дві площі основи. Оскільки площа прямокутного трикутника визначається половиною твори катетів, то отримуємо:

2*So = 2*5*7/2 = 35 см2

Тоді отримуємо, що площа поверхні прямої трикутної призми становить 35 + 206 = 241 см2.