Призма є однією з найвідоміших постатей, які вивчаються у курсі стереометрії в загальноосвітніх школах. Щоб вміти розраховувати різні характеристики фігур цього класу, необхідно знати, які види призм існують. Розглянемо це питання докладніше.

Призма в стереометрії

Насамперед дамо визначення згаданого класу фігур. Призмою є будь-многогранник, який складається з двох паралельних багатокутних підстав, які між собою з’єднані параллелограммами.

Отримати цю фігуру можна так: слід вибрати довільний багатокутник на площині, а потім переміщати його на довжину будь-якого вектора, який не належить вихідної площини многокутника. В ході такого паралельного переміщення сторони багатокутника опишуть бічні грані майбутньої призми, а кінцеве положення багатокутника стане другою підставою фігури. Описаним способом може бути отримана довільного виду призма. Малюнок нижче демонструє трикутну призму.

Будь бувають призми видів?

Мова йде про класифікації фігур розглянутого класу. У загальному випадку цю класифікацію здійснюють з урахуванням особливостей багатокутного підстави і бічних сторін фігури. Зазвичай виділяють такі три види призм:

  • Прямі і похилі (косокутні).
  • Правильні і неправильні.
  • Опуклі й увігнуті.
  • Призма будь-якого з названих типів класифікації може мати чотирикутний, п’ятикутною, …, n-вугільне основу. Що стосується видів трикутної призми, то вона може бути класифікована тільки за першими двома названими пунктами. Трикутна призма завжди є опуклою.

    Нижче детальніше розглянемо кожен з названих типів класифікації та наведемо деякі корисні формули для обчислення геометричних властивостей призми (площі поверхні, об’єму).

    Прямі і похилі постаті

    Відрізнити пряму призму від косокутної можна з першого погляду. Наведемо відповідний малюнок.

    Тут показані дві призми (шестикутна зліва і п’ятикутна праворуч). Кожен з упевненістю скаже, що шестикутна є прямою, а п’ятикутна — похилої. Який геометричний ознака відрізняє ці призми? Звичайно ж, тип бічній грані.

    Дивіться також:  Що таке провідник? Значення слова

    У прямої призми, незалежно від її заснування, всі грані є прямокутниками. Вони можуть бути рівні один одному, а можуть відрізнятися, важливо лише те, що це прямокутники, і їх двогранні кути з підставами рівні 90o.

    Відносно похилої фігури, слід сказати, що деякі або всі бічні грані у неї є параллелограммами, які утворюють з основою непрямі двогранні кути.

    Для всіх видів прямих призм заввишки є довжина бічного ребра, для похилих ж фігур висота завжди менше їх бічних ребер. Знання висоти призми важливо при обчисленні площі її поверхні і об’єму. Наприклад, формула об’єму має вигляд:

    V = So*h

    Де h — висота, So — площа однієї підстави.

    Призми правильні і неправильні

    Будь-яка призма є неправильною, якщо вона не пряма, або її основа не є правильним. Питання прямих і похилих призм був розібраний вище. Тут розглянемо, що означає вираз «правильне многоугольное підстава».

    Багатокутник є правильним, якщо всі його сторони рівні (позначимо їх довжину буквою a), і всі його кути також рівні між собою. Прикладами правильних багатокутників є рівносторонній трикутник, квадрат, шестикутник з шістьма кутами 120 o і так далі. Площа будь-якого правильного n-кутника розраховується за допомогою такої формули:

    Sn = n/4*a2*ctg(pi/n)

    Нижче схематично показано, як виглядають правильні призми з трикутним, квадратним, …, восьмикутним підставами.

    Використовуючи записану вище формулу для V, можна записати відповідний вираз для правильних фігур:

    V = n/4*a2*ctg(pi/n)*h

    Що стосується площі повної поверхні, то для правильних призм вона утворена площами двох однакових підстав і n однакових прямокутників зі сторонами h і a. Зазначені факти дозволяють записати формулу для площі поверхні будь-якої правильної призми:

    S = n/2*a2*ctg(pi/n) + n*a*h

    Тут перший доданок відповідає площі двох підстав, другий доданок визначає площу виключно бічній поверхні.

    Дивіться також:  Ендрю Таненбаум — дослідник в галузі інформатики

    З усіх видів правильних призм лише для чотирикутної існують власні назви. Так, чотирикутна призма правильна, у якій a≠h, називається прямокутним параллелепипедом. Якщо ж у цієї фігури a=h, то говорять про кубі.

    Увігнуті фігури

    До цього часу ми розглядали виключно опуклі види призм. Саме їм приділяється основна увага при вивченні розглянутого класу фігур. Тим не менше, існують також увігнуті призми. Вони від опуклих відрізняються тим, що їх підстави являють собою увігнуті багатокутники, починаючи з чотирикутника.

    На малюнку для прикладу зображено дві увігнуті призми, які виготовлені з паперу. Ліва з них у формі п’ятикутної зірки першого періоду є призмою, права у формі шестикутної зірки називається двенадцатиугольной увігнутою прямий призмою.