Проблема Гольдбаха є однією з найстаріших і найбільш розкручених завдань в історії всієї математики.
Було доведено, що ця гіпотеза вірна для всіх цілих чисел, менших 4 × 1018, але залишається недоведеною, незважаючи на значні зусилля математиків.
Число
Число Гольдбаха є позитивним цілим числом, що є сумою пари непарних простих чисел. Іншою формою утвердження гіпотези Гольдбаха є те, що всі парні великі цілі числа чотирьох є числами Гольдбаха.
Виділення подібних чисел називається розбиттям (або розділу) Гольдбаха. Нижче наведені приклади таких розділів для деяких парних чисел:
6 = 3 + 38 = 3 + 510 = 3 + 7 = 5 + 512 = 7 + 5…100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53.
Відкриття гіпотези
У Гольдбаха був колега по прізвища Ейлера, який любив вважати, складати складні формули і висувати вирішуються теорії. В цьому вони з Гольдбахом були схожі. Ейлер склав схожу математичну загадку ще до Гольдбаха, з яким вів постійне листування. Потім він запропонував друге припущення на полях свого манускрипту, згідно якому ціле число більше 2 можна записати як суму трьох простих чисел. Він рахував 1, простим числом.
Тепер відомо, що дві гіпотези аналогічні, але в той час це не було проблемою. Сучасна версія проблеми Гольдбаха свідчить, що кожне ціле число більше 5 можна записати як суму трьох простих чисел. Ейлер відповів у листі від 30 червня 1742 року і нагадав Гольдбаху про більш ранньому розмові, який у них був («… отже, ми говоримо про первісної (а не маргінальної) гіпотезі, що витікає з наступного твердження»).
