Оптимізаційні задачі: поняття, методи розв’язання та класифікація

Оптимізація допомагає знайти найкращий результат, який приносить прибуток, зменшує витрати або встановлює параметр, що викликає збої бізнес-процесів.

Цей процес також називають математичним програмуванням. Воно вирішує проблему визначення розподілу обмежених ресурсів, необхідних для досягнення поставленої мети керівником оптимізаційної задачі. З усіх допустимих варіантів бажано знайти той, який максимально посилює (або зменшує) контролюючий параметр, наприклад, прибуток або вартість. Моделі оптимізації також називаються розпорядчими або нормативними, оскільки прагнуть знайти можливу стратегію для бізнесу.

Історія розвитку

Лінійне програмування (ЛП) працює з класом задач оптимізації, де всі обмеження є лінійними.

Подає коротку історію розвитку ЛП:

  • У 1762 році Лагранж вирішив прості оптимізаційні задачі з обмеженнями рівності.
  • У 1820-му Гаусс вирішив лінійну систему рівнянь з допомогою винятку.
  • В 1866 – м Вільгельм Джордан удосконалив метод пошуку помилок найменших квадратів, як критерій відповідності. Тепер це називається методом Гаусса-Джордана.
  • У 1945-му з’явився цифровий комп’ютер.
  • У 1947-му Данциг винайшов симплексні методи.
  • У 1968-му Фіакко і Маккормік представили метод «Внутрішня точка».
  • У 1984 році Кармаркар застосував метод інтер’єру для вирішення лінійних програм, додавши свій інноваційний аналіз.

ЛП виявилося надзвичайно потужним інструментом для моделювання реальних завдань, так і в якості широко застосовуваної математичної теорії. Однак багато цікаві оптимізаційні задачі є нелінійними.

Що робити в цьому випадку? Дослідження таких проблем включає в себе різноманітну суміш лінійної алгебри, багатовимірного обчислення, чисельного аналізу і обчислювальних методів. Вчені займаються розробкою обчислювальних алгоритмів, включаючи методи внутрішніх точок для лінійного програмування, геометрію, аналіз опуклих множин і функцій, а також вивчення спеціально структурованих завдань, таких як квадратичне програмування.

Нелінійна оптимізація забезпечує фундаментальне розуміння математичного аналізу і широко використовується в різних областях, таких як проектування, регресійний аналіз, управління запасами, геофізичних досліджень та економіці.