У курсі стереометрії загальноосвітніх шкіл вивчають кілька фігур обертання в тривимірному просторі. Однією з них є конус. У цій статті докладно розглядається питання, як знайти об’єм конуса через площу основи фігури.

Що являє собою конус?

Перш ніж наводити формулу об’єму конуса через заснування площа, дамо визначення цієї фігури. Під конічною поверхнею в стереометрії розуміють таку поверхню, яка утворена рух прямого відрізка, зафіксованого одним кінцем в деякій точці, уздовж відомої плоскої кривої. Під плоскої кривої, яка називається директрисою, мається на увазі будь-яка крива лінія, що лежить в одній площині. Відрізок, який описує поверхню, називається генератрисой.

Сама по собі конічна поверхня об’ємом не має. Однак якщо директриса є замкнутою кривою, то вона визначає плоску фігуру, яка обмежує конічну поверхню знизу. Сукупність конічної поверхні і фігури, обмеженої директрисою (підстава), утворюють конус. Він вже має деяким обсягом у просторі.

Фігура підстави може мати довільний вигляд. Найпоширенішими є еліпс і коло. Відповідні конуси називаються еліптичним і круговим. Перший з них показано вище.

Формула об’єму конуса загального виду

Як знайти об’єм конуса? Дуже просто, досить знати лише його висоту і площу основи. Висота являє собою довжину перпендикуляра, який опущений з вершини фігури на її основу. Вершиною конуса є точка, що обмежує конічну поверхню з боку, протилежного основи.

Позначимо висоту символом h, а площа основи символом So, тоді обсяг конуса через площу підстави запишеться так:

V = 1/3*h*So.

Ця формула справедлива для будь-якого типу конуса, включаючи похилі постаті.

Обсяги кругового і еліптичного конусів

Круговий конус є, мабуть, самим яскравим представником даного класу фігур. Його можна отримати, якщо обертати трикутник з прямим кутом навколо будь-якого катета. Основу цього конуса є колом, тому його об’єм можна розрахувати так:

V = 1/3*h*pi*r2.

Де r — радіус круглого підстави.

Дивіться також:  Бугай — це слово лайливе чи комплімент?

Еліптичний циліндр також іноді з’являється в геометричних задачах, тому корисно привести формулу обсягу для нього. Згадуючи, як розраховується площа еліпса, отримуємо наступний вираз для об’єму конуса через заснування площа:

V = 1/3*h*pi*a*b.

Тут a, b — це довжини півосей еліпса.

Зазначимо, що загальна формула об’єму конуса має вигляд, аналогічний такому для піраміди.